Question

1.Сколько существует пятизначных чисел, оканчивающихся цифрой 6, которые делятся без остатка на 3.1.Для скольких пар целых чисел (x, y) верно равенство 2x2 + y2 = 2xy + 4x?1.В равнобедренном остроугольном треугольнике основание равно 24. Расстояние от вершины, противолежащей основанию, до пересечения высот треугольника равно 7. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Answer 1

1. 3000 чисел
Всё что смог .

Answer 2

Первый вопрос: Сколько существует пятизначных чисел, оканчивающихся цифрой 6, которые делятся без остатка на 3?

Чтобы пятизначное число делилось на 3 без остатка, сумма его цифр должна быть кратна 3. Поскольку число оканчивается на 6, оно должно быть кратно 2 и 3. Таким образом, оно должно быть кратно 6.

Давайте найдем количество пятизначных чисел, кратных 6, которые оканчиваются на 6. Возможные последние две цифры - 06, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96. Всего 10 вариантов.

Для каждого варианта последних двух цифр есть 9 возможных цифр для первых трех позиций, так как первая цифра не может быть нулем. Таким образом, общее количество пятизначных чисел, оканчивающихся на 6 и делящихся без остатка на 3, составляет:

10 вариантов * 9 возможных цифр = 90 пятизначных чисел.

Таким образом, существует 90 пятизначных чисел, оканчивающихся на 6, которые делятся без остатка на 3.

Второй вопрос: Для скольких пар целых чисел (x, y) верно равенство 2x^2 + y^2 = 2xy + 4x?

Давайте решим это уравнение.

2x^2 + y^2 = 2xy + 4x

Перенесем все термины в одну сторону:

2x^2 - 2xy + y^2 - 4x = 0

Раскроем скобки:

x^2 - 2xy + y^2 - 4x = 0

Факторизуем:

(x - y)^2 - 4(x - y) = 0

Теперь мы видим, что это квадратное уравнение относительно (x - y). Пусть z = x - y, тогда уравнение принимает вид:

z^2 - 4z = 0

Факторизуем:

z(z - 4) = 0

Отсюда видно, что z = 0 или z = 4.

Используем обратную замену z = x - y:

x - y = 0 => x = y

или

x - y = 4 => x = y + 4

Таким образом, существует две пары целых чисел (x, y), для которых верно равенство 2x^2 + y^2 = 2xy + 4x:

1. (x, y) = (y, y) 2. (x, y) = (y + 4, y)

Третий вопрос: В равнобедренном остроугольном треугольнике основание равно 24. Расстояние от вершины, противолежащей основанию, до пересечения высот треугольника равно 7. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Поскольку треугольник равнобедренный и остроугольный, у него две равные стороны и два равных угла. Обозначим основание треугольника как "b" и равные стороны как "a". Пусть высота треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, равна "h".

Из свойств равнобедренного треугольника мы знаем, что высота, проведенная из вершины, противолежащей основанию, делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Поэтому мы можем применить теорему Пифагора для нахождения сторон треугольников.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. У него стороны a, a и h. Из теоремы Пифагора, мы имеем:

a^2 = h^2 + (b/2)^2

Также, поскольку для равнобедренного треугольника высота является биссектрисой угла при вершине, мы можем установить отношение между сторонами a, b и радиусом окружности, вписанной в треугольник. Обозначим радиус окружности как "r". Тогда мы имеем:

r = (a + b - 2h)/2

Нам дано, что основание треугольника равно 24 и расстояние от вершины, противолежащей основанию, до пересечения высот треугольника, равно 7. Подставим эти значения в уравнения выше:

a^2 = 7^2 + (24/2)^2 a^2 = 49 + 144 a^2 = 193

a = √193

r = (√193 + 24 - 2*7)/2 r = (√193 + 24 - 14)/2 r = (√193 + 10)/2

Таким образом, радиус окружности, вписанной в треугольник, равен (√193 + 10)/2.