Question

Дано вектор а=2i-j+k вектор b={0;4;-1} Найти высоту треугольника построенного на векторах а и b. Помогите пожалуйста.

Answer 1

Высота h треугольника может быть вычислена из формулы для площади треугольника:

$S= \frac{1}{2}\cdot ah\; \; \; \Rightarrow \quad h= \frac{2S}{a}\\\\S= \frac{1}{2}\cdot |\vec{a}\times \vec{b}|\\\\\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}\; \; \; ,\; \; \; \vec{b}=(0,4,-1)\\\\\vec{a}\times \vec{b}= \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-1&1\\0&4&-1\end{array}\right|=i(1-4)-j(-2)+k\cdot 8=\\\\=-3i+2j+8k\\\\|\vec{a}\times \vec{b}|=\sqrt{3^2+2^2+8^2}=\sqrt{77}\\\\|\vec{a}|=\sqrt{2^2+1^2+1^2}=\sqrt{6}\\\\h= \frac{|\vec{a}\times \vec{b}|}{|\vec{a}|}= \frac{\sqrt{77}}{\sqrt6} =\sqrt{ \frac{77}{6} }\approx 3,58$

Answer 2

Для нахождения высоты треугольника, построенного на векторах a и b, мы можем использовать формулу для вычисления площади треугольника. Затем, используя площадь и длину основания треугольника, мы можем найти высоту.

Нахождение площади треугольника

Для нахождения площади треугольника, построенного на векторах a и b, мы можем использовать формулу половины векторного произведения этих векторов. Формула для вычисления площади треугольника через векторное произведение выглядит следующим образом:

Площадь треугольника = 0.5 * |a x b|

где a x b обозначает векторное произведение векторов a и b, а |a x b| обозначает длину этого векторного произведения.

Вычисление векторного произведения

Для вычисления векторного произведения векторов a и b, мы можем использовать следующую формулу:

a x b = (a2 * b3 - a3 * b2)i + (a3 * b1 - a1 * b3)j + (a1 * b2 - a2 * b1)k

где ai и bi - координаты векторов a и b соответственно.

Вычисление площади треугольника

Давайте вычислим площадь треугольника, используя формулу для векторного произведения:

a = 2i - j + k b = {0, 4, -1}

Вычислим векторное произведение a x b:

a x b = ((-1) * (-1) - 4 * 0)i + (2 * (-1) - 0 * (-1))j + (2 * 4 - (-1) * 0)k = (-1)i + (-2)j + 8k

Теперь найдем длину вектора a x b:

|a x b| = sqrt((-1)^2 + (-2)^2 + 8^2) = sqrt(1 + 4 + 64) = sqrt(69)

Теперь, используя формулу для площади треугольника, найдем площадь:

Площадь треугольника = 0.5 * sqrt(69)

Нахождение высоты треугольника

Теперь, когда у нас есть площадь треугольника и длина основания (длина вектора b), мы можем найти высоту треугольника, используя следующую формулу:

Высота = (2 * Площадь) / Длина_основания

Подставим значения в формулу:

Высота = (2 * 0.5 * sqrt(69)) / |b| = sqrt(69) / |b|

Теперь остается только вычислить длину вектора b:

|b| = sqrt(0^2 + 4^2 + (-1)^2) = sqrt(0 + 16 + 1) = sqrt(17)

Таким образом, высота треугольника, построенного на векторах a и b, равна:

Высота = sqrt(69) / sqrt(17)

Пожалуйста, проверьте мои вычисления и формулы. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!