Question

Найдите наибольшее значение функции f(x)=x^3-3x^2-9x+31 на отрезке -1;4

Answer 1

Подставим сначала -1
Получим 36
Потом подставим 4 Получим 11
Функция убывает на этом интервале
Наибольшее 36

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 31 на заданном отрезке [-1, 4], нужно найти локальные экстремумы функции в этом интервале и сравнить их значения с концами отрезка.

Нахождение локальных экстремумов

Для нахождения локальных экстремумов функции, нужно найти ее производную и найти точки, в которых производная равна нулю или не определена.

Давайте найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 6x - 9

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю: 3x^2 - 6x - 9 = 0

Можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение:

x = (-(-6) ± √((-6)^2 - 4 * 3 * (-9))) / (2 * 3)

x = (6 ± √(36 + 108)) / 6

x = (6 ± √144) / 6

x = (6 ± 12) / 6

Таким образом, получаем две точки, в которых производная равна нулю: x1 = (6 + 12) / 6 = 3 x2 = (6 - 12) / 6 = -1

Определение экстремумов

Теперь, чтобы определить, являются ли эти точки локальными максимумами или минимумами, нужно проанализировать знаки производной вокруг этих точек.

Найдем значения производной слева и справа от каждой точки:

Для x = -1: f'(-2) = 3*(-1)^2 - 6*(-1) - 9 = 3 + 6 - 9 = 0 f'(-0.5) = 3*(-0.5)^2 - 6*(-0.5) - 9 = 0.75 + 3 + 9 = 12.25

Для x = 3: f'(2) = 3*3^2 - 6*3 - 9 = 27 - 18 - 9 = 0 f'(3.5) = 3*3.5^2 - 6*3.5 - 9 = 36.75 - 21 - 9 = 6.75

Из анализа знаков производной видно, что: - В точке x = -1, производная меняет знак с отрицательного на положительный, что означает, что функция имеет локальный минимум в этой точке. - В точке x = 3, производная меняет знак с положительного на отрицательный, что означает, что функция имеет локальный максимум в этой точке.

Сравнение с концами отрезка

Теперь нужно сравнить значения функции в найденных экстремумах и на концах отрезка.

f(-1) = (-1)^3 - 3*(-1)^2 - 9*(-1) + 31 = -1 - 3 + 9 + 31 = 36 f(3) = 3^3 - 3*3^2 - 9*3 + 31 = 27 - 27 - 27 + 31 = 4 f(4) = 4^3 - 3*4^2 - 9*4 + 31 = 64 - 48 - 36 + 31 = 11

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-1, 4] равно 36 и достигается в точке x = -1.

Ответ: Наибольшее значение функции f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 31 на отрезке [-1, 4] равно 36 и достигается в точке x = -1.