Question

Решите интеграл методом возвратно интегрирования 1) X*ln(x)dx 2) arcsin(x)dx

Answer 1

Рассмотрите решение во вложении, оформление не соблюдалось.

Answer 2

1) Для решения интеграла X*ln(x)dx методом возвратного интегрирования, мы используем метод интегрирования по частям.

Интегрируем ln(x) и дифференцируем x: ∫ln(x)dx = x*ln(x) - ∫x*(1/x)dx = x*ln(x) - ∫dx = x*ln(x) - x + C

Теперь подставляем полученный результат в исходный интеграл: ∫X*ln(x)dx = X*(x*ln(x) - x) + C = X*x*ln(x) - X*x + C

Таким образом, интеграл от X*ln(x)dx равен X*x*ln(x) - X*x + C.

2) Для решения интеграла arcsin(x)dx методом возвратного интегрирования, мы используем замену переменной.

Пусть u = arcsin(x), тогда du/dx = 1/√(1-x^2) и dx = du / (1/√(1-x^2)) = du / √(1-x^2).

Теперь подставляем полученные выражения в исходный интеграл: ∫arcsin(x)dx = ∫u * du / √(1-x^2) = ∫u / √(1-x^2) du

Теперь используем метод интегрирования по частям, где u = u и dv = 1/√(1-x^2) du: du = du v = arcsin(x)

Тогда получаем: ∫u / √(1-x^2) du = u*arcsin(x) - ∫arcsin(x)du = u*arcsin(x) - u + C

Теперь подставляем обратно u = arcsin(x): = arcsin(x)*arcsin(x) - arcsin(x) + C = (arcsin(x))^2 - arcsin(x) + C

Таким образом, интеграл от arcsin(x)dx равен (arcsin(x))^2 - arcsin(x) + C.