Question

Треугольнике АВС А = 30˚, ВС = 3. Найдите радиус описанной окружности около треугольника АВС.

Answer 1

Следствие из теоремы синусов говорит, что два радиуса описанной окружности равны отношению стороны к синусу противолежащего ей угла, то есть:  Значит, 2R=3/sin(30)=3:1/2=6, откуда R=6/2=3. Ответ: 3 см

Answer 2

Радиус описанной окружности треугольника АВС

Для нахождения радиуса описанной окружности треугольника АВС, нам понадобится использовать свойство описанной окружности, которое гласит, что радиус описанной окружности равен половине длины стороны треугольника, деленной на синус угла, противолежащего этой стороне.

В данном случае, у нас дано, что угол А равен 30 градусам, а сторона ВС равна 3. Мы можем использовать эти данные для нахождения радиуса описанной окружности.

Решение:

1. Найдем длину стороны АС, используя теорему косинусов: - В данном случае, у нас известны сторона ВС (3) и угол А (30 градусов). - Мы можем использовать формулу: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C), где c - сторона, противолежащая углу C. - Подставим известные значения: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(A). - Подставим значения: AC^2 = 3^2 + AB^2 - 2 * 3 * AB * cos(30). - Упростим: AC^2 = 9 + AB^2 - 6AB * cos(30).

2. Найдем длину стороны AB, используя теорему синусов: - В данном случае, у нас известны сторона ВС (3) и угол А (30 градусов). - Мы можем использовать формулу: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C). - Подставим известные значения: AB / sin(A) = BC / sin(B). - Подставим значения: AB / sin(30) = 3 / sin(B). - Упростим: AB = (3 * sin(30)) / sin(B).

3. Подставим найденное значение AB в уравнение для AC: - Подставим значение AB в уравнение: AC^2 = 9 + AB^2 - 6AB * cos(30). - Подставим значение AB: AC^2 = 9 + ((3 * sin(30)) / sin(B))^2 - 6 * ((3 * sin(30)) / sin(B)) * cos(30). - Упростим: AC^2 = 9 + (9 * sin^2(30)) / sin^2(B) - 18 * sin(30) * cos(30) / sin(B).

4. Найдем sin(B) и cos(30): - Известно, что sin(30) = 1/2 и cos(30) = √3/2.

5. Подставим найденные значения в уравнение для AC: - Подставим значения: AC^2 = 9 + (9 * (1/2)^2) / sin^2(B) - 18 * (1/2) * (√3/2) / sin(B). - Упростим: AC^2 = 9 + 9/4 / sin^2(B) - 9√3/4 / sin(B).

6. Найдем sin(B): - Из уравнения sin^2(B) + cos^2(B) = 1, получаем: sin^2(B) = 1 - cos^2(B). - Подставим значение cos(30) = √3/2: sin^2(B) = 1 - (√3/2)^2. - Упростим: sin^2(B) = 1 - 3/4.

7. Подставим найденное значение sin(B) в уравнение для AC: - Подставим значение sin(B): AC^2 = 9 + 9/4 / (1 - 3/4) - 9√3/4 / (1 - 3/4). - Упростим: AC^2 = 9 + 9/4 / (1/4) - 9√3/4 / (1/4). - Упростим: AC^2 = 9 + 9/4 * 4 - 9√3/4 * 4. - Упростим: AC^2 = 9 + 9 - 9√3. - Упростим: AC^2 = 18 - 9√3.

8. Найдем AC: - Из уравнения AC^2 = 18 - 9√3, получаем: AC = √(18 - 9√3).

9. Найдем радиус описанной окружности: - Радиус описанной окружности равен половине длины стороны треугольника, деленной на синус угла, противолежащего этой стороне. - В данном случае, радиус описанной окружности равен AC / (2 * sin(A)). - Подставим значения: Радиус = √(18 - 9√3) / (2 * sin(30)).

Ответ:

Радиус описанной окружности треугольника АВС равен √(18 - 9√3) / 2.