Question

Найти площадь фигуры,ограниченной линиями y=4x-2x^2, y=0,x=3

Answer 1

Дана парабола y = -2x² + 4х.
Так как в задании дано у = 0, то находим точки пересечения графика с осью Ох.
 -2x² + 4х = 0,
-2х(х - 2) = 0.
Получаем 2 точки: х = 0 и х = 2.
То есть до заданной точки х = 3 промежуток равен (2; 3).
$S= \int\limits^3_2 {(4x-2x^2)} \, dx = \frac{4x^2}{2}- \frac{2x^3}{3}|_2^3 = \frac{4*9}{2}- \frac{2*27}{3}-( \frac{4*4}{2}- \frac{2*8}{3})= \frac{8}{3} .$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, мы можем воспользоваться методом интегрирования. Для начала, давайте построим график данных функций, чтобы визуализировать фигуру.

Построение графика

Линия y = 4x - 2x^2 представляет собой параболу, а y = 0 представляет собой горизонтальную прямую, проходящую через ось x. Чтобы построить график, мы можем найти точки пересечения этих двух функций.

Для начала, найдем точки пересечения параболы и горизонтальной прямой, приравняв уравнение параболы к 0:

0 = 4x - 2x^2

2x^2 - 4x = 0

2x(x - 2) = 0

Отсюда получаем две возможные точки пересечения: x = 0 и x = 2.

Подставим эти значения обратно в уравнение параболы, чтобы найти соответствующие значения y:

- Для x = 0: y = 4(0) - 2(0)^2 = 0 - Для x = 2: y = 4(2) - 2(2)^2 = 4 - 8 = -4

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (2, -4).

Теперь мы можем построить график, используя эти точки пересечения.


Вычисление площади

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4x - 2x^2, y = 0 и x = 3, мы можем разделить эту фигуру на две части: треугольник и площадь под параболой.

# Треугольник

Один из углов треугольника будет находиться в точке (0, 0), другой угол - в точке (2, -4), а третий угол - на оси x в точке x = 3. Таким образом, основание треугольника будет равно 3 - 0 = 3, а высота будет равна |-4 - 0| = 4.

Так как площадь треугольника равна (основание * высота) / 2, то площадь этого треугольника будет:

Площадь_треугольника = (3 * 4) / 2 = 6.

# Площадь под параболой

Площадь под параболой можно вычислить с помощью интеграла. Для этого возьмем интеграл от функции y = 4x - 2x^2 на интервале от x = 0 до x = 2.

Интеграл площади_под_параболой = ∫[0, 2] (4x - 2x^2) dx

Вычислим данный интеграл:

∫[0, 2] (4x - 2x^2) dx = [2x^2 - (2/3)x^3] [0, 2]

Подставим верхний предел интегрирования (x = 2) и нижний предел интегрирования (x = 0) в данное уравнение:

[2(2)^2 - (2/3)(2)^3] - [2(0)^2 - (2/3)(0)^3]

= [2(4) - (2/3)(8)] - [0 - 0]

= 8 - (16/3)

= 8 - 5.333...

≈ 2.6667

# Общая площадь

Общая площадь фигуры будет равна сумме площади треугольника и площади под параболой:

Общая_площадь = Площадь_треугольника + Площадь_под_параболой

Общая_площадь = 6 + 2.6667

Общая_площадь ≈ 8.6667

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4x - 2x^2, y = 0 и x = 3, примерно равна 8.6667.