Question

Решите уравнение sin^2 x+|sin x|-2=0

Answer 1

2sin^2x+(2-корень2)соsx+корень2-2=02-2cos^2(x)+2cosx-√2cosx+√2-2=0-2cos^2(x)+2cosx-√2cosx+√2=02cos^2(x)-2cosx+√2cosx-√2=02cosx(cosx-1)+√2(cosx-1)=0(cosx-1)*(2cosx+√2)=0cosx-1=0              или        2cosx+√2=0cosx=1                                 2cosx=-√2x1=2pi*n, n=Z                     cosx=-√2/2                                               x2=+-arcsin(-√2/2)+2pi*n=+-(3pi/4)+2pi*n,  n=Z[5pi/2;7pi/2]2pi*n=5pi/2    2pi*n=7pi/22n=5/2             2n=7/24n=5                4n=7n=5/4               n=7/4В этом промежутке первый корень не подходит, т,к, n дробное число. Рассмотрим второй кореньx2=+-(3pi/4)+2pi*n1. со знаком +5pi/2=(3pi/4)+2pi*n2pi*n=5pi/2+(3pi/4)=(10pi+3pi)/4=13pi/42n=13/48n=13n=13/87pi/2=(3pi/4)+2pi*n2pi*n=7pi/2-(3pi/4)=(14pi-3pi)/4=11pi/42n=11/4n=11/8  -   при знаке + не подходит.2. со знаком --(3pi/4)+2pi*n=5pi/22pi*n=(5pi/2)+(3pi/4)=10pi+3pi/4=13pi/4n=13/8-(3pi/4)+2pi*n=7pi/22pi*n=7pi/2+3pi/4=14pi+3pi/4=17pi/4n=17/8 Смотрим, как изменяется n,n1=13/8=1(4/8)=1(1/2)n2=17/8=2(1/8)Видим, что в этом промежутке n принимает целое значение 2 Ищем x=-(3pi/4)+2pi*n=-(3pi/4)+4pi=(16pi-3pi)/4=13pi/4

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим уравнение sin^2(x) + |sin(x)| - 2 = 0 и найдем его решение.

Перепишем уравнение

Уравнение sin^2(x) + |sin(x)| - 2 = 0 можно переписать в виде двух уравнений:

1. sin^2(x) + sin(x) - 2 = 0, для sin(x) >= 0 2. sin^2(x) - sin(x) - 2 = 0, для sin(x) < 0

Теперь мы можем рассмотреть каждое из этих уравнений отдельно.

Решение уравнения для sin(x) >= 0

Для уравнения sin^2(x) + sin(x) - 2 = 0, для sin(x) >= 0, мы можем ввести замену: y = sin(x) и решить квадратное уравнение относительно y.

Уравнение примет вид y^2 + y - 2 = 0, и его решения можно найти с помощью дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

Найдем дискриминант

D = 1^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9

Найдем корни уравнения

Теперь, используя найденный дискриминант, мы можем найти корни уравнения: y = (-b ± √D) / (2a).

y1 = (-1 + √9) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1

y2 = (-1 - √9) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -4 / 2 = -2

Возвращаемся к переменной x

Теперь, зная, что y = sin(x), мы можем найти x, используя обратную функцию синуса: x = arcsin(y).

Ответ для sin(x) >= 0: x = arcsin(1) ≈ π/2, x = arcsin(-2) не имеет смысла, так как sin(x) не может быть меньше -1.

Решение уравнения для sin(x) < 0

Для уравнения sin^2(x) - sin(x) - 2 = 0, для sin(x) < 0, мы также вводим замену: y = sin(x) и решаем квадратное уравнение относительно y.

Уравнение примет вид y^2 - y - 2 = 0, и мы можем найти его корни с помощью дискриминанта.

Найдем дискриминант и корни уравнения

D = 1^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9

Таким образом, корни уравнения y^2 - y - 2 = 0 такие же, как и для sin(x) >= 0: y1 = 1, y2 = -2.

Возвращаемся к переменной x

Используя обратную функцию синуса, мы найдем:

x = arcsin(1) ≈ π/2, x = arcsin(-2) не имеет смысла, так как sin(x) не может быть меньше -1.

Итоговый ответ

Итак, решение уравнения sin^2(x) + |sin(x)| - 2 = 0: x = π/2.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение: x = π/2.