Question

№12 sinx-√2=0№2cos = -№3tg x=√3№43ctgx= -1№52 - sinx+1=0№6 x +ctg=0№7 Решить неравенствоsinx ≤ - по 1 окружности

Answer 1

№1
2 sinx-√2=0 ⇒   $sinx= \frac{ \sqrt{2} }{2}, \\ x=(-1) ^{k}arcsin \frac{ \sqrt{2} }{2}+ \pi k,k\in Z, \\ x=(-1) ^{k}\frac{ \pi } {4}+ \pi k,k\in Z.$
№2
$cos \frac{x}{4}=- \frac{ \sqrt{2} }{2} , \\ x=\pm arccos(- \frac{ \sqrt{2} }{2})+2 \pi k,k\in Z, \\x=\pm ( \pi -arccos( \frac{ \sqrt{2} }{2}))+2 \pi k,k\in Z, \\x=\pm ( \pi - \frac{ \pi }{4}))+2 \pi k,k\in Z, \\x=\pm \frac{3 \pi }{4}+2 \pi k,k\in Z.$
№3
tg x=√3
$x=arctg \sqrt{3}+ \pi k,k\in Z, \\ x= \frac{ \pi }{3} + \pi k,k\in Z.$
№4
3ctgx= -1 ,
$ctgx=- \frac{1}{3}, \\ x=arcctg(-\frac{1}{3})+ \pi k,k\in Z, \\ x= \pi -arcctg\frac{1}{3}+ \pi k,k\in Z$
№5
2cos²x - sinx+1=0
cos²x=1-sin²x
2(1-sin²x)-sinx+1=0
2-2sin²x-sinx+1=0
2sin²x+sinx-3=0
D=1-4·2·(-3)=1+24=25=5²
sinx=(-1-5)/4=-3/2- уравнение не             или    sinx =(-1+5)/4=1
имеет решений, синус не принимает                х=π/2 + 2πk, k ∈ Z.
значений больших 1 и меньших -1
№6
$tg ^{2}x+ctgx=0, \\ tg ^{2}x+ \frac{1}{tgx} =0, \\ \frac{tg ^{3}x+1 }{tgx}=0, \left \{ {{tg ^{3}x +1=0} \atop {tgx \neq 0}} \right.$
tgx=-1
x=arctg(-1)+πk, k ∈Z
x=-π/4 + πk, k∈Z
№7 Решить неравенство
sinx ≤ -1/2
$- \frac{ \pi }{6}+2 \pi k \leq x \leq \pi + \frac{ \pi }{6}+2 \pi k,k\in Z$
(cм. рисунок)

Answer 2

№12: sinx - √2 = 0 sinx = √2 x = arcsin(√2) + 2πn, x = π - arcsin(√2) + 2πn, где n - целое число.

№2: cosx = +-1 x = 0 + 2πn, x = π + 2πn, где n - целое число.

№3: tgx = √3 x = π/3 + πn, где n - целое число.

№4: ctgx = +-1 x = π/4 + πn, x = 3π/4 + πn, где n - целое число.

№5: 2cosx - sinx + 1 = 0 cosx = (sinx - 1)/2 Так как sin^2x + cos^2x = 1, то (sinx - 1)^2/4 + sin^2x = 1 sin^2x - 2sinx + 1 + 4sin^2x = 4 5sin^2x - 2sinx - 3 = 0 (5sinx + 3)(sinx - 1) = 0 sinx = -3/5, sinx = 1 x = arcsin(-3/5) + 2πn, x = π - arcsin(-3/5) + 2πn, x = π/2 + 2πn, где n - целое число.

№6: x + ctgx = 0 ctgx = -x x = πn, где n - целое число.

№7: Решить неравенство sinx ≤ -1 по окружности Так как sinx принимает значения от -1 до 1, то sinx ≤ -1 не имеет решений на окружности.