Question

Доказать, что из трех последовательных чисел одно делится на 3

Answer 1

Пусть одно из чисел - х, два других - х + 1 и х + 2 соответственно. Рассмотрим теперь первое число. Возможные остатки от деления на 3 - 0, 1, 2. Если остаток 0, то первое число делится на 3, с этим случаем все понятно. Если остаток от деления равен 1, а  целая часть допустим равна k, то последнее число из тройки, а именно х + 2, которое можно записать в виде k*3 + 1 + 2 = k*3 + 3 = (k+1)*3 - делится на три. аналогично можно рассмотреть случай с равенство остатка 2, в этом случае нацело делится второе число из тройки.

Answer 2

Для доказательства того, что из трех последовательных чисел одно делится на 3, мы можем использовать метод математической индукции.

Пусть у нас есть три последовательных числа: n, n+1 и n+2.

Шаг 1: Базовый случай Проверим, выполняется ли условие для начального значения n. Если n делится на 3 без остатка, то наше утверждение верно. Допустим, n = 3k, где k - целое число.

Шаг 2: Индукционное предположение Предположим, что условие выполняется для некоторого числа n. То есть, существует целое число k такое, что n = 3k.

Шаг 3: Доказательство для n+1 Рассмотрим число n+1. Мы можем представить его в виде (3k + 1). Теперь мы должны показать, что (3k + 1) делится на 3 или имеет остаток 0 при делении на 3.

Мы можем выразить (3k + 1) как (3k + 3 - 2). Далее мы можем переписать это выражение в виде (3k + 3 - 3 + 1). После сокращения получаем (3k + 3). Таким образом, (3k + 1) равно (3k + 3), что делится на 3 без остатка.

Шаг 4: Доказательство для n+2 Рассмотрим число n+2. Мы можем представить его в виде (3k + 2). Теперь мы должны показать, что (3k + 2) делится на 3 или имеет остаток 0 при делении на 3.

Мы можем выразить (3k + 2) как (3k + 3 - 1). Далее мы можем переписать это выражение в виде (3k + 3 - 3 + 2). После сокращения получаем (3k + 3 - 1), что равно (3k + 2). Таким образом, (3k + 2) делится на 3 без остатка.

Шаг 5: Заключение Мы доказали, что если одно из трех последовательных чисел делится на 3 без остатка (например, n), то следующие два числа (n+1 и n+2) также будут делиться на 3 без остатка.

Таким образом, из трех последовательных чисел одно всегда будет делиться на 3.