Question

Y''+4y=ctg2x помогите решить пожалуйста

Answer 1

Общее решение = решение однородного + решение неоднородного.
сначала ищем решение однородного
y''+4y=0 => z^2+4=0 => z=sqrt(4*i) ;
i - мнимая единица i^2=-1;
z1= 2i, z2=-2i
корни комплексные, значит решение однородного при комплексных корнях z=a+bi : a=0, b=2;
Yo=e^a*(C1*cos(bx)+C2*sin(bx))=e^0*(C1*cos(2x)+C2*sin(2x))=C1*cos(2x)+C2*sin(2x).
далее варьируем постоянные С1 и С2, полагая их функциями, зависящими от х.
я заменяю их на другие буквы дабы не запутаться С1, С2 => T1, T2.
в Yo :y1=cos(2x) y2=sin(2x) 
y1'=-2sin(2x) y2'=2cos(2x)
это нужно подставить в систему и решить её относительно T1' и T2' :
T1'y1+T2'y2=0;
T1'y1'+T2'y2'=ctg(2x);

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения Y'' + 4y = ctg(2x) можно воспользоваться методом вариации произвольной постоянной.

Сначала найдем общее решение однородного уравнения Y'' + 4y = 0. Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид λ^2 + 4 = 0. Решив это уравнение, получим λ = ±2i. Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид Yh = c1*cos(2x) + c2*sin(2x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого представим правую часть уравнения в виде суммы функций, чьи производные имеют простой вид. Так как ctg(2x) = cos(2x)/sin(2x), то мы можем представить правую часть уравнения в виде f(x) = A*cos(2x) + B*sin(2x), где A и B - произвольные постоянные.

Теперь найдем производные f(x): f'(x) = -2A*sin(2x) + 2B*cos(2x) и f''(x) = -4A*cos(2x) - 4B*sin(2x). Подставив эти значения в исходное уравнение, получим -4A*cos(2x) - 4B*sin(2x) + 4(A*cos(2x) + B*sin(2x)) = ctg(2x). Сокращая подобные слагаемые, получим 0 = ctg(2x), что является противоречием.

Таким образом, данное уравнение не имеет решения в виде частной функции, представимой в виде суммы функций, чьи производные имеют простой вид. В этом случае мы можем воспользоваться методом вариации произвольной постоянной, чтобы найти общее решение неоднородного уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид Y = Yh + Yp, где Yh - общее решение однородного уравнения, а Yp - частное решение неоднородного уравнения.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения Y'' + 4y = ctg(2x) имеет вид Y = c1*cos(2x) + c2*sin(2x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.