Question

Помогите пожалуйста :з Интеграл dx/2-x^2

Answer 1

(x^2 * ln(2-x^2))/2 - просто найти первообразную

Answer 2

Конечно, я помогу!

Вы хотите вычислить определенный интеграл от функции dx/(2-x^2). Для начала, давайте рассмотрим сам интеграл:

∫(dx / (2 - x^2))

Чтобы решить этот интеграл, мы можем воспользоваться методом частичных дробей. Давайте разложим дробь на простые слагаемые:

dx / (2 - x^2) = A / (x + √2) + B / (x - √2)

Здесь A и B - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти. Чтобы найти их, мы можем сложить дроби с общим знаменателем:

A(x - √2) + B(x + √2) = dx

Теперь мы можем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x:

A + B = 0 (коэффициент при x^0) -A√2 + B√2 = 1 (коэффициент при x^1)

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения A и B:

A = 1 / (2√2) B = -1 / (2√2)

Теперь мы можем заменить исходный интеграл на сумму простых дробей:

∫(dx / (2 - x^2)) = ∫(1 / (2√2)(x + √2) - 1 / (2√2)(x - √2)) dx

Разделим интеграл на две части:

∫(1 / (2√2)(x + √2)) dx - ∫(1 / (2√2)(x - √2)) dx

Теперь мы можем интегрировать каждую часть отдельно. Давайте рассмотрим первую часть:

∫(1 / (2√2)(x + √2)) dx

Мы можем вынести константу 1 / (2√2) за знак интеграла:

1 / (2√2) ∫(1 / (x + √2)) dx

Теперь мы можем взять интеграл:

1 / (2√2) ln|x + √2| + C1

Здесь ln|x + √2| представляет собой натуральный логарифм (ln) абсолютного значения (|x + √2|). C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь рассмотрим вторую часть:

∫(1 / (2√2)(x - √2)) dx

Аналогично, выносим константу 1 / (2√2) за знак интеграла:

1 / (2√2) ∫(1 / (x - √2)) dx

Берем интеграл:

1 / (2√2) ln|x - √2| + C2

Здесь ln|x - √2| представляет собой натуральный логарифм (ln) абсолютного значения (|x - √2|). C2 - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь мы можем объединить оба результата:

∫(dx / (2 - x^2)) = 1 / (2√2) ln|x + √2| - 1 / (2√2) ln|x - √2| + C

Где C = C1 - C2 - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, вычислен определенный интеграл от функции dx/(2-x^2). Если у вас есть конкретные значения для пределов интегрирования, вы можете подставить их и вычислить численное значение интеграла.