Question

Помогите вычислить определенный интеграл! dx/ корень из (4x-1) , от 1/4 до 5/4

Answer 1

4/6 .................................................................
                                   

Answer 2

Чтобы вычислить данный определенный интеграл, мы будем использовать метод замены переменной. Давайте последовательно выполним следующие шаги:

Шаг 1: Замена переменной Для начала, давайте заменим переменную в интеграле. Пусть u = 4x - 1. Тогда, dx = du/4. Мы также должны изменить пределы интегрирования в соответствии с новой переменной. Когда x = 1/4, u = 4(1/4) - 1 = 0, и когда x = 5/4, u = 4(5/4) - 1 = 4.

Шаг 2: Подставление новых переменных Теперь мы можем заменить переменные в исходном интеграле. Получаем следующее:

∫(dx/√(4x-1)) = (1/4)∫(du/√u)

Шаг 3: Вычисление интеграла Теперь мы можем вычислить интеграл ∫(du/√u). Интеграл ∫(1/√u) du может быть легко рассчитан, и его результат равен 2√u. Применяя это, получаем:

(1/4)∫(du/√u) = (1/4) * 2√u = (1/2)√u

Шаг 4: Подстановка обратной замены переменной Теперь мы должны заменить u обратно на исходную переменную x. Когда u = 0, x = 1/4, и когда u = 4, x = 5/4. Подставляя значения, получаем следующее:

(1/2)√u = (1/2)√(4x-1)

Шаг 5: Вычисление значения интеграла Теперь мы можем вычислить значение определенного интеграла, подставив пределы интегрирования:

∫(dx/√(4x-1)) = [(1/2)√u] от 0 до 4 = [(1/2)√(4) - (1/2)√(0)] = (1/2)(2 - 0) = 1

Таким образом, значение данного определенного интеграла равно 1.