Question

Найти наибольшее значение функции у=х^3-9х^2 +15х+2 на отрезке [0;3]

Answer 1

У=х³-9х²+15х+2 
y'=3x²-18x+15
y'=0
3x²-18x+15=0
x²-6x+5=0
D=36-20=16
x=5;x=1
5∉[0;3]
y(0)=2
y(1)=1-9+15+2=9
y(3)=27-81+45+2=-7
Наибольшее 9 при х=1

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции у на отрезке [0;3], мы можем использовать метод дифференциального исчисления.

Нахождение критических точек функции

1. Сначала найдем производную функции у = х^3 - 9х^2 + 15х + 2. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим их:

у' = (3х^2) - (18х) + 15.

2. Теперь найдем критические точки функции, то есть значения х, при которых производная равна нулю или не определена. Для этого решим уравнение:

(3х^2) - (18х) + 15 = 0.

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или квадратного корня. Решив его, мы найдем две критические точки: х = 1 и х = 5.

Определение экстремумов функции

3. Чтобы определить, является ли найденная критическая точка максимумом или минимумом, можно использовать вторую производную тест. Для этого найдем вторую производную функции у:

у'' = (6х) - 18.

4. Затем подставим найденные критические точки во вторую производную. Если полученное значение положительное, то критическая точка является минимумом, а если отрицательное, то максимумом. Если значение второй производной равно нулю, то тест не дает определенного результата.

Для х = 1: у''(1) = (6 * 1) - 18 = -12. Значение отрицательное, поэтому критическая точка х = 1 является максимумом.

Для х = 5: у''(5) = (6 * 5) - 18 = 12. Значение положительное, поэтому критическая точка х = 5 является минимумом.

Определение значения функции на границах отрезка

5. Наконец, определим значения функции у на границах отрезка [0;3]. Подставим х = 0 и х = 3 в исходную функцию у = х^3 - 9х^2 + 15х + 2:

При х = 0: у(0) = (0)^3 - 9(0)^2 + 15(0) + 2 = 2.

При х = 3: у(3) = (3)^3 - 9(3)^2 + 15(3) + 2 = 2.

Определение наибольшего значения функции

6. Теперь сравним найденные значения функции на критических точках и границах отрезка, чтобы найти наибольшее значение функции:

Значение функции у = 2 на границах отрезка [0;3].

Значение функции у = 2 на критической точке х = 1.

Значение функции у = 22 на критической точке х = 5.

Из полученных значений видно, что наибольшее значение функции у = 22 достигается на критической точке х = 5 на отрезке [0;3].

Таким образом, наибольшее значение функции у = х^3 - 9х^2 + 15х + 2 на отрезке [0;3] равно 22, и достигается оно при х = 5.