Question

Помогите sin2x=cos^2x

Answer 1

$\sin2x=\cos^2x\\2\sin x\cos x-\cos^2x=0\\\cos x(2\sin x-\cos x)=0\\\cos x=0\Rightarrow x=\frac\pi2+\pi n\\\\2\sin x-\cos x=0\\2\sin x=\cos x\\2tgx=1\\tgx=\frac12\\x=arctg\frac12+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Я могу помочь вам решить тригонометрическое уравнение. Давайте начнем с преобразования обеих частей уравнения к одной тригонометрической функции. Используя формулу $$\cos^2x=1-\sin^2x$$, мы получаем:

$$\sin2x=1-\sin^2x$$

Теперь давайте применим формулу двойного угла для левой части уравнения:

$$2\sin x\cos x=1-\sin^2x$$

Перенеся все члены в левую часть, мы получаем квадратное уравнение относительно $$\sin x$$:

$$\sin^2x+2\sin x\cos x-1=0$$

Давайте решим это уравнение с помощью формулы корней:

$$\sin x=\frac{-2\cos x\pm\sqrt{4\cos^2x+4}}{2}$$

Упростим выражение под корнем:

$$\sin x=\frac{-2\cos x\pm\sqrt{4(\cos^2x+1)}}{2}$$

Используя тождество $$\cos^2x+1=\sin^2x$$, мы получаем:

$$\sin x=\frac{-2\cos x\pm 2\sin x}{2}$$

Разделим обе части на 2:

$$\sin x=-\cos x\pm\sin x$$

Рассмотрим два случая:

- Если $$\sin x=-\cos x+\sin x$$, то $$\cos x=0$$. - Если $$\sin x=-\cos x-\sin x$$, то $$2\sin x=-\cos x$$.

В первом случае, $$\cos x=0$$, мы можем найти решения, используя общие значения тригонометрических функций. Значения $$x$$, при которых $$\cos x=0$$, это $$x=\frac{\pi}{2}+n\pi$$, где $$n$$ - любое целое число.

Во втором случае, $$2\sin x=-\cos x$$, мы можем поделить обе части на $$\cos x$$, при условии, что $$\cos x\neq 0$$:

$$2\tan x=-1$$

Тогда мы можем найти решения, используя обратную тангенсальную функцию:

$$\tan x=-\frac{1}{2}$$

$$x=\arctan\left(-\frac{1}{2}\right)+n\pi$$

где $$n$$ - любое целое число.

Объединяя оба случая, мы получаем общее решение уравнения:

$$x=\frac{\pi}{2}+n\pi$$ или $$x=\arctan\left(-\frac{1}{2}\right)+n\pi$$

где $$n$$ - любое целое число.

Вы можете проверить свой ответ, используя онлайн-калькулятор или решатель. Вы также можете изучить больше о формуле $$\cos^2x$$.

Надеюсь, это было полезно. Спасибо за использование Bing.