Question

1)Докажите, что функция y = x^4 - 1/5 cos^5x + 2 является первообразной для функции y = 4x^3 + sinxcos^4x 2)Для функции y = 15/5x-9 + 2/x² найдите ту первообразную график которой проходит через точку A (2; -7)

Answer 1

1) производная первообразной функции = исходной функции
найдем производную первообразной, и если она совпадет с данной функцией, то 1-ая функция - первообразная для 2-ой

$y = x^4 - 1/5 cos^5x + 2$
$y'=4x^3- \frac{5*cos^4x*-sinx}{5}=4x^3+cos^4x*sinx$
производная 1-ой функции = 2-ой функции ==> 1-ая функция - первообразная

2) 
для данной функции найдем первообразную через интегрирование
$\int { \frac{15}{5x-9}+ \frac{2}{x^2} } \, dx = \int { \frac{15}{5x-9}\,dx+ \int\frac{2}{x^2} } \, dx =$
$\frac{15}{5} \int { \frac{1}{5x-9}\,d(5x-9)+ 2\int\frac{1}{x^2} } \, dx =3ln(5x-9)- \frac{2}{x} +C$
чтобы найти С, подставим точку А в функцию
$3ln(5*2-9)- \frac{2}{2} +C=-7$
$3ln1- 1+C=-7$
$3+C=-6$
$C=-9$
Окончательная первообразная:
$3ln(5x-9)- \frac{2}{x} -9$

Answer 2

Доказательство, что функция y = x^4 - 1/5*cos^5(x) + 2 является первообразной для функции y = 4x^3 + sin(x)*cos^4(x) + 2

Для того чтобы доказать, что функция y = x^4 - 1/5*cos^5(x) + 2 является первообразной для функции y = 4x^3 + sin(x)*cos^4(x) + 2, необходимо проверить, что их производные равны.

Для начала, найдем производную функции y = x^4 - 1/5*cos^5(x) + 2:

y' = (d/dx)(x^4) - (d/dx)(1/5*cos^5(x)) + (d/dx)(2)

y' = 4x^3 + (1/5)*5*cos^4(x)*(-sin(x)) + 0

y' = 4x^3 - cos^4(x)*sin(x)

Теперь найдем производную функции y = 4x^3 + sin(x)*cos^4(x) + 2:

y' = (d/dx)(4x^3) + (d/dx)(sin(x)*cos^4(x)) + (d/dx)(2)

y' = 12x^2 + (cos^4(x)*cos(x) - sin(x)*4*cos^3(x)) + 0

y' = 12x^2 + cos^5(x)*cos(x) - 4*sin(x)*cos^3(x)

Мы видим, что производные данных функций совпадают. Это означает, что функция y = x^4 - 1/5*cos^5(x) + 2 является первообразной для функции y = 4x^3 + sin(x)*cos^4(x) + 2.

Нахождение первообразной функции y = 15/(5x-9) + 2/x², проходящей через точку A(2, -7)

Для нахождения первообразной функции y = 15/(5x-9) + 2/x², проходящей через точку A(2, -7), мы будем использовать метод интегрирования.

Интегрируем каждую часть функции по отдельности:

∫(15/(5x-9)) dx + ∫(2/x²) dx

Для первого интеграла, мы можем использовать замену переменной:

Пусть u = 5x - 9, тогда du = 5dx, а dx = du/5.

∫(15/(5x-9)) dx = ∫(15/u) * (du/5) = 3∫(1/u) du = 3ln|u| + C₁

Для второго интеграла:

∫(2/x²) dx = 2∫(1/x²) dx = -2/x + C₂

Теперь найдем константы интегрирования C₁ и C₂ с использованием точки A(2, -7):

-7 = 3ln|5(2) - 9| + C₁ - 2/2 + C₂

-7 = 3ln(1) + C₁ - 1 + C₂

-7 = C₁ - 1 + C₂

C₁ + C₂ = -6

Таким образом, первообразная функции y = 15/(5x-9) + 2/x², проходящей через точку A(2, -7), имеет вид:

y = 3ln|5x-9| - 2/x + C

где C = C₁ + C₂ = -6.