Question

Исследуйте ряд на сходимость ∑_(n=1)^∞▒5^2n/4^n

Answer 1

Рассмотрите предложенный вариант, исследование проводилось по признаку Д'Аламбера.

Answer 2

Для исследования сходимости данного ряда воспользуемся признаком Даламбера.

Признак Даламбера гласит, что если существует предел отношения двух последовательных членов ряда, то ряд сходится, если этот предел меньше 1, и расходится, если больше 1.

Итак, ряд имеет вид ∑_(n=1)^∞▒5^(2n)/4^n

Вычислим предел отношения двух последовательных членов ряда:

lim (n→∞) (5^(2n+2)/4^(n+1)) / (5^(2n)/4^n) = lim (n→∞) (5^(2n+2) * 4^n) / (4^(n+1) * 5^(2n)) = lim (n→∞) (5^2 * 5^(2n) * 4^n) / (4 * 4^n * 5^(2n)) = lim (n→∞) (25 * 4^n) / (20 * 4^n) = 25 / 20 = 1.25

Таким образом, предел отношения двух последовательных членов ряда равен 1.25, что больше 1. Следовательно, по признаку Даламбера ряд расходится.

Итак, ряд ∑_(n=1)^∞▒5^(2n)/4^n расходится.