Question

Решить уравнение!log^2по основанию 5 (x-2)-2log по основанию 5(x-2)-3=0

Answer 1

$log^2_5 (x-2)-2log_5(x-2)-3=0\\log_5(x-2)=t\\t^2-2t-3=0\\(t-3)(t+1)=0\\t=3 \quad \quad t=-1\\log_5(x-2)=3 \quad \quad log_5(x-2)=-1\\x-2=5^3 \quad \quad x-2=5^{-1}\\\boxed{\bf x=127 \quad \quad x=2\frac{1}5}$

Answer 2

Пусть log5 (x-2)=t

t^2-2t-3=0

D=4+12=16

t1=-4

t2=0

Обратная замена:

log5 (x-2)=-4 и  log5 (x-2)=0

 (x-2)=-4      и    (x-2)=1

 x=-2             и x= 3

Ответ: -2,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 3

Чтобы решить данное уравнение, давайте разберемся с его структурой и применим соответствующие свойства логарифмов.

У нас есть следующее уравнение:

log^2_5(x-2) - 2log_5(x-2) - 3 = 0

Давайте рассмотрим каждый член по отдельности:

1. log^2_5(x-2): Это квадрат логарифма по основанию 5 от (x-2). 2. -2log_5(x-2): Это дважды взятый логарифм по основанию 5 от (x-2). 3. -3: Это константа, равная -3.

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать свойства логарифмов.

Свойства логарифмов:

1. log^a_b(c) = n эквивалентно b^n = c. Это свойство позволяет нам избавиться от логарифма в уравнении. 2. log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c). Это свойство позволяет нам объединить два логарифма с различными аргументами в один логарифм с их отношением.

Решение уравнения:

1. Начнем с первого члена уравнения: log^2_5(x-2). Применим свойство логарифмов и заменим это выражение на (x-2)^2:

(x-2)^2 - 2log_5(x-2) - 3 = 0

2. Теперь рассмотрим второй член уравнения: -2log_5(x-2). Применим свойство логарифмов и заменим это выражение на log_5((x-2)^2):

(x-2)^2 - 2log_5((x-2)^2) - 3 = 0

3. Объединим первый и второй члены уравнения, используя свойство логарифмов:

(x-2)^2 - log_5((x-2)^2) - 3 = 0

4. Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить как квадратное уравнение относительно (x-2)^2. Обозначим (x-2)^2 как t:

t - log_5(t) - 3 = 0

5. Решим полученное квадратное уравнение относительно t. Давайте переместим все члены на одну сторону уравнения:

t - log_5(t) - 3 = 0 t - log_5(t) = 3

6. Теперь применим свойство логарифмов, чтобы избавиться от логарифма:

t = 5^3

t = 125

7. Мы нашли значение t, теперь вернемся к исходному уравнению и найдем значение (x-2):

(x-2)^2 = 125

Решением этого уравнения будет:

x-2 = ±√125

x-2 = ±5√5

Теперь решим два возможных значения для (x-2):

a) x-2 = 5√5

Если мы добавим 2 к обоим сторонам уравнения, получим:

x = 5√5 + 2

b) x-2 = -5√5

Если мы добавим 2 к обоим сторонам уравнения, получим:

x = -5√5 + 2

Таким образом, решением данного уравнения являются два значения:

x = 5√5 + 2 и x = -5√5 + 2.