Question

В треугольник АВС вписана окружность радиуса 2 которая делит отрезок АС на части с длинами 5 и 4. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

в треугольнике АВС вписана окружность радиуса 2, которая делит отрезок АС  в точке К, АВ в точке М, ВС в точке Л.
Т.к отрезки касательных к окружности, проведённые из 
одной точки равны, значит АК=АМ=5, СК=СЛ=4, ВМ=ВЛ=х
Тогда стороны ΔАВС равны АВ=5+х, ВС=4+х, АС=9
Радиус вписанной окружности r²=(р-АВ)(р-ВС)(р-АС)/р
р=1/2*(АВ+ВС+АС)=1/2*(5+х+4+х+9)=9+х
2²=(9+х-5-х)(9+х-4-х)(9+х-9) / (9+х)
4=4*5х/(9+х)
9+х=5х
4х=9
х=9/4=2,25
АВ=5+х=7,25, ВС=4+х=6,25, АС=9
Площадь ΔАВС по формуле Герона:
S=√р(р-АВ)(р-ВС)(р-АС)=√11,25*4*5*2,25=√506,25=22,5

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойство вписанной окружности в треугольнике.

Мы знаем, что касательная, проведенная к точке касания с окружностью, равна по длине отрезку от точки касания до точки пересечения с вершиной треугольника. Поэтому мы можем построить два треугольника: прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 и катетами 2 и 3, и прямоугольный треугольник с гипотенузой 4 и катетами 2 и 2.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC, используя формулу площади прямоугольного треугольника: S = 0.5 * a * b, где a и b - катеты треугольника.

Для первого прямоугольного треугольника: S1 = 0.5 * 2 * 3 = 3

Для второго прямоугольного треугольника: S2 = 0.5 * 2 * 2 = 2

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC, вычитая площади двух прямоугольных треугольников из площади треугольника ABC:

S(ABC) = S1 + S2 = 3 + 2 = 5

Итак, площадь треугольника ABC равна 5.