Question

Найдите все пары чисел, удовлетворяющих уравнению х^2=y^2+2y+13

Answer 1

Если решать задачу исходя из условия, то ничего интересного не получится (если не считать того, что кривая, заданная этим уравнением (как Вы узнаете на первом курсе), является гиперболой. Если же добавить то, что Вы скорее всего забыли написать, а именно что x и y должны быть целыми числами, то задача становится вполне содержательной, хотя и стандартной
(ну хорошо, стандартной для знатоков математики, коим Вы, несомненно, в будущем станете).

Преобразуем: x^2 - (y+1)^2=12; (x - y -1)(x+y+1)=12.
Поскольку мы предположили, что решения ищутся только среди целых чисел, раскладываем 12 всевозможными способами в произведение двух целых чисел:

12=1·12=12·1=2·6=6·2=3·4=4·3=(-1)(-12)=(-12)(-1)=(-2)(-6)=(-6)(-2)=(-3)(-4)=·
(-4)(-3)

Рассмотрим, скажем, первый случай: x - y - 1=1; x+y+1=12. Чтобы из этой системы найти x и y, можно выразить одну из неизвестных через другую с помощью одного уравнения и подставить во второе. Но можно сделать проще. Сложим эти уравнения (то есть к левой части первого уравнения добавим левую часть второго, аналогично поступим с правыми частями.
После приведения подобных членов получаем 2x=13; x=13/2. Мы видим, что получается нецелое число, значит, первый случай решений не дает. Поскольку случаев всего очень много, давайте устроим анализ, в каких ситуациях решения будут нецелые. Видим, что вторая скобка отличается от первой на 2(y+1), то есть на четное число. Это означает, что если первая скобка четная, то вторая тоже четная, а если первая нечетная, то и вторая тоже нечетная.Среди разложений 12 в произведение не может быть разложения на два нечетных множителя, так как 12 - четное число. Ищем разложения 12 в произведение четных чисел. Таковыми являются 2·6, 6·2, (-2)(-6), (-6)(-2). Не буду лишать Вас удовольствия доведения самостоятельно решения до ответа. Удачи!

Answer 2

Для того чтобы найти все пары чисел, удовлетворяющие уравнению \(x^2 = y^2 + 2y + 13\), мы можем воспользоваться методом завершения квадрата или рассмотреть это уравнение как уравнение окружности. Давайте начнем с завершения квадрата.

Метод завершения квадрата:

1. Преобразуем уравнение \(x^2 = y^2 + 2y + 13\), выделив полный квадрат в правой части уравнения. \[x^2 = (y^2 + 2y + 1) + 12\] Теперь мы можем переписать правую часть в таком виде:

\[x^2 = (y + 1)^2 + 12\]

2. Теперь у нас есть уравнение вида \(x^2 = a^2 + 12\), где \(a = y + 1\). Мы можем рассмотреть различные значения \(a\) и соответствующие значения \(x\). Таким образом, все пары чисел \((x, y)\), удовлетворяющие уравнению, будут задаваться выражением \((x, y) = (\pm \sqrt{a^2 + 12}, a - 1)\).

Уравнение окружности:

Мы также можем рассмотреть уравнение \(x^2 = y^2 + 2y + 13\) как уравнение окружности в декартовой системе координат. Это уравнение можно переписать в следующем виде:

\[x^2 + (y + 1)^2 = 12 + 1^2\]

Это уравнение представляет окружность с центром в точке \((0, -1)\) и радиусом \(\sqrt{13}\).

Таким образом, все точки \((x, y)\), удовлетворяющие уравнению, будут лежать на этой окружности.

Для поиска всех пар чисел, удовлетворяющих уравнению \(x^2 = y^2 + 2y + 13\), можно использовать как метод завершения квадрата, так и рассмотрение уравнения как уравнения окружности.