Question

По кругу расположено 300 точек, в одной из каких сидит блоха. Она начинает прыгать по кругу против часовой стрелки, причем первым прыжком она попадает в соседнюю точку, потом прыгает через одну точку, потом через 2 и т.д.. Докажите, что есть такая точка, до какой блоха никогда не попадет.

Answer 1

У НАС  БЫЛА  ПОДОБНАЯ НАМ  ДАЛИ  ТАКОЙ  ОТВЕТ. МОЖЕТ ПОМОЖЕТ
тетя поли велела тому покрасить забор с наружной и внутренней стороны.том решил что с наружи он будет красить каждую вторую дощечку а изнутрикаждуютретью. сколько дощечек оказалось совсем не покрашенными, если забор состоит из 2014 дощечек покраску забора снаружи и изнутри том начинает с одного и того же конца 1)2014:2=1007
2)1007:2=500
3)1007:3=333
4)333+500=833
5)2014-833=1081

Answer 2

Докажем это утверждение по индукции.

Пусть точки на круге пронумерованы от 1 до 300 по часовой стрелке. Предположим, что блоха никогда не попадет в точку 1.

База индукции: После первого прыжка блоха попадает в соседнюю точку (точка 2), и она не попадает в точку 1.

Предположение индукции: Пусть после n-го прыжка блоха попадает в точку k, где k ≠ 1.

Теперь докажем, что после (n+1)-го прыжка блоха попадет в точку m, где m ≠ 1. После n-го прыжка блоха находится в точке k. Если k + (n+1) не равно 1 по модулю 300, то блоха попадет в точку k + (n+1) (если k + (n+1) больше 300, то блоха начнет прыгать с начала круга). Это означает, что блоха никогда не попадет в точку 1.

Таким образом, мы доказали по индукции, что существует точка, до которой блоха никогда не попадет.