Question

Всем па­ци­ен­там с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит де­ла­ют ана­лиз крови. Если ана­лиз вы­яв­ля­ет ге­па­тит, то ре­зуль­тат ана­ли­за на­зы­ва­ет­ся по­ло­жи­тель­ным. У боль­ных ге­па­ти­том па­ци­ен­тов ана­лиз даёт по­ло­жи­тель­ный ре­зуль­тат с ве­ро­ят­но­стью 0,9. Если па­ци­ент не болен ге­па­ти­том, то ана­лиз может дать лож­ный по­ло­жи­тель­ный ре­зуль­тат с ве­ро­ят­но­стью 0,01. Из­вест­но, что 5% па­ци­ен­тов, по­сту­па­ю­щих с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит, дей­стви­тель­но боль­ны ге­па­ти­том. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ре­зуль­тат ана­ли­за у па­ци­ен­та, по­сту­пив­ше­го в кли­ни­ку с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит, будет по­ло­жи­тель­ным.

Answer 1

Вероятность того, что поступивший пациент болен гепатитом, равна 0,05, вероятность того, что он здоров = 0,95.
Вероятность того, что пациент болен и результат будет положительным равна 0,05*0,9 = 0,045.
Вероятность того, что пациент здоров и результат будет положительным равна 0,95*0,01 = 0,0095.
Ве­ро­ят­ность того, что ре­зуль­тат ана­ли­за у па­ци­ен­та, по­сту­пив­ше­го в кли­ни­ку с по­до­зре­ни­ем на ге­па­тит, будет по­ло­жи­тель­ным равна 0,045+0,0095 = 0,0545

Answer 2

Calculation of the Probability

To calculate the probability that the test result for a patient with suspected hepatitis will be positive, we need to consider the given information:

- The probability of a positive test result for patients with hepatitis is 0.9. - The probability of a false positive test result for patients without hepatitis is 0.01. - 5% of patients with suspected hepatitis are actually diagnosed with hepatitis.

Let's denote the following events: - A: The patient has hepatitis. - B: The test result is positive.

We want to find P(B|A), the probability of a positive test result given that the patient has hepatitis.

Using Bayes' theorem, we can calculate this probability as follows:

P(B|A) = (P(A|B) * P(B)) / P(A)

P(A|B) is the probability of having hepatitis given a positive test result, which is equal to 0.9. P(B) is the probability of a positive test result, which can be calculated as follows:

P(B) = P(A) * P(B|A) + P(A') * P(B|A')

P(A) is the probability of having hepatitis, which is 0.05. P(A') is the probability of not having hepatitis, which is 1 - P(A) = 0.95. P(B|A') is the probability of a false positive test result, which is 0.01.

Now we can substitute these values into the equation to calculate P(B):

P(B) = 0.05 * 0.9 + 0.95 * 0.01

Finally, we can calculate P(B|A) using Bayes' theorem:

P(B|A) = (0.9 * P(B)) / P(A)

Let's calculate the probability:

P(B) = 0.05 * 0.9 + 0.95 * 0.01 = 0.045 + 0.0095 = 0.0545

P(B|A) = (0.9 * P(B)) / P(A) = (0.9 * 0.0545) / 0.05 ≈ 0.981

Therefore, the probability that the test result for a patient with suspected hepatitis will be positive is approximately 0.981.

Please note that this calculation assumes that the events are independent and that the test is accurate.