Question

Доказать lim(1/n)=0, n-->∞ Помогите пожалуйста!

Answer 1

Докажем это непосредственно исходя из определения предела последовательности:
Для любого $\varepsilon>0$ существует такое число N, зависящее от $\varepsilon$ поэтому запишем $N_{\varepsilon}$, что начиная с какого то номера n, будет выполняться равенство:
$|a_n-A|<\varepsilon\\|\cfrac{1}{n}-0|<\varepsilon\\n>\cfrac{1}{\varepsilon}$
Что и требовалось доказать, получаем что предел данной последовательности равен нулю!

Answer 2

Для доказательства lim(1/n) = 0, когда n стремится к бесконечности, мы можем использовать определение предела.

По определению, lim(1/n) = 0 означает, что для любого положительного числа ε, существует такое число N, что для всех n > N выполняется неравенство |1/n - 0| < ε.

Давайте докажем это. Возьмем произвольное положительное число ε. Мы хотим найти такое число N, что для всех n > N выполняется неравенство |1/n - 0| < ε.

Заметим, что |1/n - 0| = 1/n. Мы хотим, чтобы это было меньше ε, то есть 1/n < ε. Это неравенство можно переписать как n > 1/ε.

Таким образом, мы можем взять N = ⌈1/ε⌉ (округление вверх до ближайшего целого числа) и утверждать, что для всех n > N выполняется неравенство |1/n - 0| < ε.

Таким образом, мы доказали, что lim(1/n) = 0, когда n стремится к бесконечности.