Question

Помогите срочно решить дифференциальное уравнение второго порядка.Нужно найти общее решение этого уравнения и определить частное решение.1)y'(x^2+1)=2xy' при y(0)=1 , y'(0)=32)y''=√1-(y')^2 при y(П/2)=3 , y'(П/2)=1

Answer 1

1) Тут, очевидно, опечатка. Должно быть так:
y''(x^2+1)=2xy'
Понижение порядка. Замена y'=z; z'=dz/dx
dz/dx*(x^2+1)=2xz
Уравнение с разделяющимися переменными
dz/z=2xdx/(x^2+1)
ln z=d(x^2+1)/(x^+1)=ln(x^2+1)+ln C1
z=C1*(x^2+1)
Обратная замена
y'=C1*(x^2 + 1)
y=C1*(x^3/3 + x) + C2
Теперь подставляем числа
y(0) = C1*(0/3 + 0) + C2 = C2 = 1
y'(0) = z(0) = C1*(0 + 1) = C1 = 3
Ответ: y = 3(x^3/3 + x) + 1

2) y''=√(1-(y')^2)
Тоже замена y'=z; z'=dz/dx
dz/dx=√(1-z^2)
Тоже с разд. переменными
dz/√(1-z^2) = dx
arcsin z = x + C1
z = sin(x + C1)
Обратная замена
y' = sin(x + C1)
y = -cos(x + C1) + C2
Подставляем числа
y(Π/2) = -cos(Π/2 + C1) + C2 = 3
sin(C1) + C2 = 3
y'(Π/2) = z(Π/2) = sin(Π/2+C1)=1
cos(C1) = 1
C1 = 0
sin(C1) + C2 = sin 0 + C2 = C2 = 3
Ответ: y = -cos x + 3

Answer 2

Дифференциальное уравнение 1: Уравнение: y'(x^2+1)=2xy', при y(0)=1, y'(0)=3

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.

Шаг 1: Разделение переменных Разделим уравнение на обе стороны для получения отдельных переменных: (y')/(2xy') = 1/(x^2+1)

Шаг 2: Интегрирование Проинтегрируем обе части уравнения относительно соответствующих переменных: ∫(y')/(2xy') dy' = ∫1/(x^2+1) dx

Шаг 3: Вычисление интегралов Вычислим интегралы с обеих сторон уравнения: (1/2) ln|y'| = arctan(x) + C1

где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 4: Поиск y' Возведем обе стороны уравнения в экспоненту, чтобы найти y': e^[(1/2) ln|y'|] = e^(arctan(x)+C1) √|y'| = e^(arctan(x)+C1)

Шаг 5: Разбор случаев Теперь рассмотрим два возможных случая: 1) y' > 0 2) y' < 0

Случай 1: y' > 0 В этом случае, мы можем убрать модуль: √y' = e^(arctan(x)+C1)

Возведем обе стороны в квадрат: y' = e^(2arctan(x)+2C1)

Случай 2: y' < 0 В этом случае, мы также можем убрать модуль: √-y' = e^(arctan(x)+C1)

Возведем обе стороны в квадрат и изменяем знак: y' = -e^(2arctan(x)+2C1)

Шаг 6: Определение y Чтобы найти y, мы проинтегрируем y' относительно x: 1) Для случая y' > 0: ∫y' dx = ∫e^(2arctan(x)+2C1) dx y = ∫e^(2arctan(x)+2C1) dx + C2

2) Для случая y' < 0: ∫y' dx = ∫-e^(2arctan(x)+2C1) dx y = ∫-e^(2arctan(x)+2C1) dx + C2

где C2 - другая произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, мы нашли общее решение дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение 2: Уравнение: y'' = √(1-(y')^2), при y(π/2) = 3, y'(π/2) = 1

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.

Шаг 1: Разделение переменных Разделим уравнение на обе стороны для получения отдельных переменных: (y'')/√(1-(y')^2) = 1

Шаг 2: Интегрирование Проинтегрируем обе части уравнения относительно соответствующих переменных: ∫(y'')/√(1-(y')^2) dy' = ∫1 dx

Шаг 3: Вычисление интегралов Вычислим интегралы с обеих сторон уравнения: arcsin(y') = x + C3

где C3 - произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 4: Нахождение y' Применим синус к обеим сторонам уравнения: y' = sin(x+C3)

Шаг 5: Интегрирование для нахождения y Проинтегрируем y' относительно x: y = ∫sin(x+C3) dx

Шаг 6: Вычисление интеграла Вычислим интеграл: y = -cos(x+C3) + C4

где C4 - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, мы нашли общее решение дифференциального уравнения.

Определение частного решения Чтобы найти частное решение, необходимо использовать начальные условия, которые даны в уравнении.

1) Для дифференциального уравнения 1: Используя начальные условия y(0) = 1 и y'(0) = 3, мы можем найти значения постоянных C1 и C2.

Подставим начальные условия в общее решение: y(0) = ∫e^(2arctan(0)+2C1) dx + C2 y(0) = ∫e^(2C1) dx + C2 y(0) = [x*e^(2C1)] + C2

Используя y(0) = 1, мы можем найти C2: 1 = [0*e^(2C1)] + C2 C2 = 1

Теперь подставим начальные условия y'(0) = 3 в общее решение: y'(0) = e^(2arctan(0)+2C1) y'(0) = e^(2C1)

Используя y'(0) = 3, мы можем найти C1: 3 = e^(2C1) C1 = ln(3)/2

Таким образом, частное решение для данного дифференциального уравнения с начальными условиями y(0) = 1 и y'(0) = 3 будет: y = ∫e^(2arctan(x)+ln(3)) dx + 1

2) Для дифференциального уравнения 2: Используя начальные условия y(π/2) = 3 и y'(π/2) = 1, мы можем найти значения постоянных C3 и C4.

Подставим начальные условия в общее решение: y(π/2) = -cos(π/2+C3) + C4 y(π/2) = -cos(π/2+C3) + C4 y(π/2) = sin(C3) + C4

Используя y(π/2) = 3, мы можем найти C4: 3 = sin(C3) + C4

Теперь подставим начальные условия y'(π/2) = 1 в общее решение: y'(π/2) = sin(π/2+C3)

Используя y'(π/2) = 1, мы можем найти C3: 1 = sin(π/2+C3) C3 = π/2

Таким образом, частное решение для данного дифференциального уравнения с начальными условиями y(π/2) = 3 и y'(π/2) = 1 будет: y = -cos(x+π/2) + C4

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном ответе используются математические обозначения и символы. Я могу предоставить вам код на я