Question

В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется: а) 3 белых шаров; б) меньше, чем 3 белых шаров; в) хотя бы один белый шар.

Answer 1

Найдем общее число возможных комбинаций пяти шаров, которые достали из урны, то есть число сочетаний $C^{5}_{14} = \frac{14!}{5! 9!} = 2002$.

а) Благоприятный исход: 3 белых (из 6), число таких комбинаций: $C^{3}_{6}$, и 2 черных (из 8): $C^{2}_{8}$. Общее число благоприятных исходов получится путем перемножения: $C^{3}_{6} C^{2}_{8} = \frac{6!}{3! 3!} \frac{8!}{2! 6!}  = 560$. Итоговая вероятность есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу:  $C^{3}_{6} C^{2}_{8} / C^{5}_{14} = 560 / 2002$.

б) Благоприятный исход: один белый и 4 черных или 2 белых и 3 черных. Вероятности складываем: $\frac{C^{1}_{6} C^{4}_{8} + C^{2}_{6} C^{3}_{8}}{C^{5}_{14}} = \frac{420 + 840}{2002} = \frac{1260}{2002}$.

в) Посчитаем вероятность: $P_{0} = 1 -  P_{1}[tex], где P1 - вероятность, что все шары - черные. Число таких комбинаций: [tex]C^{5}_{8} = 56$. $P_1 = 56/2002$. ТОгда искомая вероятность: $P_0 = \frac{1946}{2002}$.   

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся комбинаторикой и вероятностью.

а) Найдем вероятность того, что среди 5 вынутых шаров окажутся 3 белых.

Общее количество возможных вариантов вытянуть 5 шаров из урны: C(14, 5) = 2002 (14 - это общее количество шаров в урне, 5 - это количество шаров, которое мы вынимаем).

Количество вариантов, когда среди 5 шаров 3 белых и 2 черных можно посчитать следующим образом: C(6, 3) - количество способов выбрать 3 белых шара из 6 C(8, 2) - количество способов выбрать 2 черных шара из 8

Таким образом, количество вариантов с 3 белыми и 2 черными шарами будет равно: C(6, 3) * C(8, 2) = 20 * 28 = 560.

Вероятность того, что среди 5 вынутых шаров будут 3 белых, можно вычислить по формуле: P(3 белых) = количество вариантов с 3 белыми / общее количество вариантов = 560 / 2002 ≈ 0.279

б) Найдем вероятность того, что среди 5 вынутых шаров окажется меньше, чем 3 белых.

Количество вариантов, когда среди 5 шаров будет менее 3 белых, будет равно: C(6, 0) * C(8, 5) + C(6, 1) * C(8, 4) + C(6, 2) * C(8, 3) = 1 * 56 + 6 * 70 + 15 * 56 = 56 + 420 + 840 = 1316.

Вероятность того, что среди 5 вынутых шаров будет менее 3 белых: P(меньше 3 белых) = количество вариантов с менее 3 белыми / общее количество вариантов = 1316 / 2002 ≈ 0.657

в) Найдем вероятность того, что среди 5 вынутых шаров окажется хотя бы один белый.

Количество вариантов, когда среди 5 шаров будет хотя бы один белый, можно найти через обратную вероятность.

Количество вариантов без белых шаров будет равно: C(8, 5) = 56.

Тогда количество вариантов с хотя бы одним белым шаром равно: общее количество вариантов - количество вариантов без белых шаров = 2002 - 56 = 1946.

И, наконец, вероятность того, что среди 5 вынутых шаров будет хотя бы один белый: P(хотя бы один белый) = количество вариантов с хотя бы одним белым / общее количество вариантов = 1946 / 2002 ≈ 0.972

Итак, получили следующие значения вероятностей: а) P(3 белых) ≈ 0.279 б) P(меньше 3 белых) ≈ 0.657 в) P(хотя бы один белый) ≈ 0.972