Question

Две параболы y=2x^2+ax+b и y=-5x^2+cx+d касаются в точке, лежащей на оси Ox. Через точку D – вторую точку пересечения первой параболы с осью Ox – проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке A, а общую касательную к параболам – в точке B. Найдите отношение DA:DB.

Answer 1

По условию парабола у=2x2+ax+b пересекает ось Ох дважды, т.е квадратное уравнение 2x2+ax+b=0 имеет два корня
хо и хD
2x2o+axo +b=0
2х2D+axD+b=0
вычтем
2(x2o–x2D)+а·(xo–xD)=0
((xo–xD)·(2xo+2xD+а)=0
xo–xD≠0, точки по условию различны.
Значит
2xo+2xD+а=0
(xo+xD)=–a/2 (# 1)

точка касания расположена на оси Ox, значит (xo;0)

Составим уравнение касательной к параболе у=2x2+ax+b.

f(x)=2x2+ax+b
f(xo)=0,
f`(x)=4x+a
f`(xo)=4xo+a

y–0=(4хо+a)·(x–xo) – уравнение касательной к первой параболе.


Составим уравнение касательной к параболе у=2x2+ax+b.

f(x)=–5x2+сx+d
f(xo)=0,
f`(x)=–10x+c
f`(xo)=–10xo+c

y–0=(–10хо+c)·(x–xo) – уравнение касательной ко второй параболе.

Касательная общая, значит
4хо+a=–10хо+c ( угловые коэффициенты равны)
14xo + a – c =0
xo=(c–a)/14 ( # 2)

У точек А;В и D – одинаковые абсциссы.
Найдем ординаты.
Точка А лежит на второй параболе
Точка В на касательной

А(xD;–5x2D+cxD+d)
В(хD;(4хо+a)(xD–xo)
D(хD; 0)

|AD|=|–5x2D+cxD+d|
–5x2o+сxo +d=0
d=5x2o–сxo
|AD|=|–5x2D+cxD+5x2o–сxo|=
=|xo–xD|·|5xo+5xD–c|

|ВD|=|xo–xD|·|4xo+a|

|DА|:|DВ|=|5xo+5xD–c|/|4xo+a|
так как
(xo+xD)=–a/2 ( # 1)
xo=(c–a)/14 ( # 2)

|DА|:|DВ|=|5xo+5xD–c|/|4xo+a|=

=|5·(–a/2)–c|/|(4·(c–a)/14)+a|=

=|(–5a–2c)/2|/|(2c+5a)/7|=7/2
Ответ:7/2

Answer 2

Пусть точка, в которой параболы касаются, находится на оси Ox и имеет координаты (x0, 0). Тогда у нас есть два уравнения:

y = 2x^2 + ax + b y = -5x^2 + cx + d

Поскольку эти параболы касаются, у них в точке (x0, 0) имеются одинаковые значения y. Поэтому мы можем приравнять эти два уравнения:

2x0^2 + ax0 + b = -5x0^2 + cx0 + d

Дифференцируя оба уравнения, мы получим выражения для производных:

y' = 4x + a y' = -10x + c

Так как оба уравнения описывают касательные линии, они должны иметь одинаковый наклон в точке пересечения (x0, 0). Поэтому мы можем приравнять эти производные:

4x0 + a = -10x0 + c

Оставшийся шаг - решить эту систему уравнений относительно неизвестных a, b, c и d.

Используя факт, что точка d является второй точкой пересечения первой параболы с осью Ox, мы можем подставить x = 0 в уравнение первой параболы:

y = 2(0)^2 + a(0) + b 0 = b

То есть, b = 0.

Теперь у нас есть только два неизвестных: a и c. Мы можем решить систему уравнений:

4x0 + a = -10x0 + c a = -14x0 + c

По условию, проходящая через точку d вертикальная прямая пересекает вторую параболу в точке a, и эта прямая одновременно является общей касательной для парабол. Заметим, что вертикальная прямая имеет уравнение x = d. Подставим это в уравнение второй параболы:

y = -5(d)^2 + c(d) + d

Наша задача найти отношение da:db, то есть отношение промежутка между точками a и d к промежутку между точками b и d. Из предыдущего уравнения видно, что это отношение будет пропорционально отношению x0 к d (поскольку оба уравнения имеют промежутки на оси x, а не промежутки на оси y). Таким образом, да:db = x0:d.

Ответ: отношение da:db равно x0:d.