Question

Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой второй член равен 6, а сумма членов равна 1/8 суммы квадратов её членов.

Answer 1

Давайте найдем первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой второй член равен 6, а сумма членов равна 1/8 суммы квадратов ее членов.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель равен q.

Таким образом, второй член равен а * q, и сумма всех членов геометрической прогрессии может быть выражена следующим образом:

S = a + a * q + a * q^2 + a * q^3 + ...

Сумма квадратов членов геометрической прогрессии может быть выражена следующим образом:

S^2 = (a + a * q + a * q^2 + a * q^3 + ...)^2

Мы знаем, что второй член равен 6, поэтому a * q = 6.

Теперь, сумма членов геометрической прогрессии равна 1/8 суммы квадратов ее членов:

S = 1/8 * S^2

Подставим a * q = 6 в это уравнение:

a + a * q + a * q^2 + a * q^3 + ... = 1/8 * (a + a * q + a * q^2 + a * q^3 + ...)^2

a + 6 + 6q + 6q^2 + 6q^3 + ... = 1/8 * (a + 6 + 6q + 6q^2 + 6q^3 + ...)^2

Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от дроби:

8a + 48 + 48q + 48q^2 + 48q^3 + ... = (a + 6 + 6q + 6q^2 + 6q^3 + ...)^2

Теперь, заметим, что выражение в скобках справа - это просто сумма членов геометрической прогрессии. Пусть она равна S:

8a + 48 + 48q + 48q^2 + 48q^3 + ... = S^2

Также, мы знаем, что сумма всех членов геометрической прогрессии равна S:

S = a + a * q + a * q^2 + a * q^3 + ...

Таким образом, мы можем записать:

S = 8a / (1 - q)

Теперь подставим это значение S в уравнение:

(8a / (1 - q))^2 = 8a + 48 + 48q + 48q^2 + 48q^3 + ...

Упростим это уравнение:

64a^2 / (1 - q)^2 = 8a + 48 + 48q + 48q^2 + 48q^3 + ...

Теперь, сравним коэффициенты при соответствующих степенях q:

64a^2 / (1 - q)^2 = 48 + 48q + 48q^2 + 48q^3 + ...

Из этого уравнения мы можем сделать несколько наблюдений:

1. Коэффициент при q^0 (член без q) равен 48, поэтому a^2 = 3. 2. Коэффициент при q^1 (первый член с q) равен 48, поэтому 2 * a * (1 - q) = 2 * a * q = 48q, что приводит к уравнению a * q = 24. 3. Коэффициент при q^2 равен 48, поэтому (1 - q)^2 = 1 - 2q + q^2 = 48 / 64 = 3 / 4.

Из первого наблюдения следует, что a = sqrt(3).

Из второго наблюдения следует, что a * q = 24, поэтому sqrt(3) * q = 24, откуда q = 8 / sqrt(3).

Из третьего наблюдения следует, что 1 - q = sqrt(1 - 3 / 4) = sqrt(1 / 4) = 1 / 2.

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен sqrt(3), а знаменатель равен 8 / sqrt(3).

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.