Question

Приоекцией прямоугольника ABCD на плоскости b является квадрат ABC1D1. найдите угол между плоскостями b и плоскостью прямоугольника ABCD, учитывая, что AB : BC = 1 : 2.

Answer 1

рассмотрим прямоугольный треугольник СВС1, в котором ВС - гипотенуза

АВ=ВС1=(1/2)*ВС, если катет = половине гипотенузы, то  угол противолежащий катету=30 град, следует уг.ВСС1=30,

уг.СВС1=90-30=60 град.- искомый угол 

Answer 2

Чтобы найти угол между плоскостью \(b\) и плоскостью прямоугольника \(ABCD\), давайте воспользуемся формулой для нахождения угла между двумя плоскостями. Пусть \(\mathbf{N}_1\) и \(\mathbf{N}_2\) - нормальные векторы для плоскостей \(b\) и прямоугольника \(ABCD\) соответственно.

Нормальный вектор к плоскости можно найти, зная три точки лежащие на этой плоскости. Поскольку у нас есть квадрат \(ABC1D1\), мы можем взять в качестве точек \(A\), \(B\), и \(C\), и найти нормальный вектор для плоскости \(b\). Точки \(A\), \(B\), и \(C\) можно выбрать следующим образом:

\[ A = (0, 0, 0), \quad B = (1, 0, 0), \quad C = (1, 2, 0) \]

Теперь, мы можем найти векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), а затем векторное произведение этих векторов, чтобы получить нормальный вектор к плоскости \(b\):

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1, 0, 0) \]

\[ \overrightarrow{AC} = C - A = (1, 2, 0) \]

Теперь находим векторное произведение:

\[ \mathbf{N}_1 = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \]

\[ \mathbf{N}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} \]

\[ \mathbf{N}_1 = (0, 0, -2) \]

Таким образом, нормальный вектор к плоскости \(b\) равен \((0, 0, -2)\).

Теперь давайте найдем нормальный вектор \(\mathbf{N}_2\) для плоскости прямоугольника \(ABCD\). Так как прямоугольник лежит в плоскости \(xy\), то нормальный вектор к этой плоскости будет \(\mathbf{k}\).

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между векторами:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{N}_1 \cdot \mathbf{N}_2}{\|\mathbf{N}_1\| \cdot \|\mathbf{N}_2\|} \]

где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов, а \(\|\mathbf{N}_1\|\) и \(\|\mathbf{N}_2\|\) - их длины.

Для \(\mathbf{N}_2 = (0, 0, 1)\) угол \(\theta\) можно вычислить:

\[ \cos \theta = \frac{(0, 0, -2) \cdot (0, 0, 1)}{\sqrt{0^2 + 0^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} \]

\[ \cos \theta = \frac{-2}{2 \cdot 1} \]

\[ \cos \theta = -1 \]

Таким образом, угол между плоскостью \(b\) и плоскостью прямоугольника \(ABCD\) равен \( \theta = \arccos(-1) = \pi \) радиан или \(180^\circ\).