Question

Помогите пожалуйста!!! Решить неравенство: log^2 2(x-1)-3log2(x-1)-1<0

Answer 1

Log₂(x-1) = t
t² - 3t -1 < 0
D = b² - 4ac = 9 +4 = 14
t₁ = (3 +√13)/2,    t₂ = (3 - √13)/2
(3 - √13)/2 < log₂(x-1) <  (3 +√13)/2

Answer 2

Конечно, я помогу с этим неравенством! Давайте разберемся с ним поэтапно.

Итак, данное неравенство: \(\log^2_2(x-1) - 3\log_2(x-1) - 1 < 0\).

Для решения начнем с замены переменной. Обозначим \(y = \log_2(x-1)\), тогда неравенство примет вид:

\(y^2 - 3y - 1 < 0\).

Теперь найдем корни квадратного уравнения \(y^2 - 3y - 1 = 0\). Можно воспользоваться формулой \(D = b^2 - 4ac\) и \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):

\(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13\).

Таким образом, корни уравнения:

\[y = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\]

Эти корни делят числовую прямую на три интервала. Чтобы найти интервалы удовлетворяющие неравенству \(y^2 - 3y - 1 < 0\), нужно выбрать тестовую точку из каждого интервала.

Интервалы:

1. \(-\infty < y < \frac{3 - \sqrt{13}}{2}\) 2. \(\frac{3 - \sqrt{13}}{2} < y < \frac{3 + \sqrt{13}}{2}\) 3. \(\frac{3 + \sqrt{13}}{2} < y < +\infty\)

Выберем тестовую точку из каждого интервала:

1. Для интервала \(-\infty < y < \frac{3 - \sqrt{13}}{2}\) возьмем \(y = 0\). 2. Для интервала \(\frac{3 - \sqrt{13}}{2} < y < \frac{3 + \sqrt{13}}{2}\) возьмем \(y = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} + 1\). 3. Для интервала \(\frac{3 + \sqrt{13}}{2} < y < +\infty\) возьмем \(y = 4\).

Подставим эти значения в неравенство \(y^2 - 3y - 1 < 0\) и проверим:

1. При \(y = 0\): \(0^2 - 3 \cdot 0 - 1 = -1 < 0\) - верно. 2. При \(y = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} + 1\): \(\left(\frac{3 - \sqrt{13}}{2} + 1\right)^2 - 3\left(\frac{3 - \sqrt{13}}{2} + 1\right) - 1 \approx 0.32 > 0\) - неверно. 3. При \(y = 4\): \(4^2 - 3 \cdot 4 - 1 = 16 - 12 - 1 = 3 > 0\) - неверно.

Таким образом, неравенство выполняется только на интервале \(-\infty < y < \frac{3 - \sqrt{13}}{2}\).

Теперь, подставим обратно \(y = \log_2(x-1)\):

\(\log_2(x-1) < \frac{3 - \sqrt{13}}{2}\).

Чтобы найти \(x\), возведем обе части неравенства в степень двойки:

\(x - 1 < 2^{\frac{3 - \sqrt{13}}{2}}\).

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

\(x < 1 + 2^{\frac{3 - \sqrt{13}}{2}}\).

Таким образом, решение неравенства \( \log^2_2(x-1) - 3\log_2(x-1) - 1 < 0 \) в виде неравенства над \(x\) будет \(x < 1 + 2^{\frac{3 - \sqrt{13}}{2}}\).