Question

Помогите пожалуйста решить неравенство log1/3(2x-1 )>-2

Answer 1

ОДЗ:  
$2x-1 \ \textgreater \ 0 \\ 2x \ \textgreater \ 1 \\ x \ \textgreater \ 0,5$

$log_{ \frac{1}{3} } (2x-1 ) \ \textgreater \ -2 \\ log_{ \frac{1}{3} } (2x-1 ) \ \textgreater \ - log_{ \frac{1}{3} } ( \frac{1}{9} ) \\ log_{ \frac{1}{3} } (2x-1 ) \ \textgreater \ log_{ \frac{1}{3} } ( \frac{1}{9} ) ^{-1} \\ log_{ \frac{1}{3} } (2x-1 ) \ \textgreater \ log_{ \frac{1}{3} }9 \\ 2x-1 \ \textless \ 9 \\ 2x \ \textless \ 10 \\ x \ \textless \ 5$

Ответ:  x ∈ ( 0,5  ;  5 ).

Answer 2

Для начала преобразуем данное неравенство с помощью свойств логарифмов: \(\log_{\frac{1}{3}}(2x - 1) > -2\)

Далее, вспомним, что логарифм по определению можно записать в виде экспоненты: \(\frac{1}{3}^{-2} < 2x - 1\)

Упростим левую часть неравенства: \(3^{-2} < 2x - 1\)

Вычислим значение слева: \(\frac{1}{3^2} < 2x - 1\) \(\frac{1}{9} < 2x-1\)

Теперь, добавим 1 к обеим частям неравенства: \(\frac{1}{9} + 1 < 2x\) \(\frac{10}{9} < 2x\)

Далее, разделим обе части неравенства на 2: \(\frac{10}{9} \div 2 < x\) \(\frac{5}{9} < x\)

Таким образом, решением данного неравенства является множество значений x, для которых \(x > \frac{5}{9}\).