Question

Медиана проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 6 и делит прямой угол в соотношении 1:2 найдите катеты треугольника

Answer 1

Я овозначила треугольник АВС. ВС-это гипотенуза,разделенная медианой на части 1:2.Медиану обозначим АО.
2) Медиана разбила треуг. АВС на  2 прямоугольных треугольника АВО и АОС. 
ВС=6см по усл, 
1+2=3части делят сторону ВС
6:3=2 см-приходится на одну часть
ВО=2см; ОС=2*2=4cм
Рассм .треуг. АВО. <Аов=90 град. ВО=2см, то АВ=ВО*sin30 град.=2*1/2=1 см -это катет исходного треугольника
<А медианой тоже разбился на углы в соотношении 1:2, те на 3 части ;90град. :3=30 градусов -это уголВАО,и 30*2=60град  <ОАС
Из треуг.АОС находим АС=4*sin60=4*корень из3/2=3,46см-это катет для исходного треугольника
Сложно писать без чертежа

Answer 2

Пусть a и b - катеты треугольника, а c - гипотенуза. Медиана, проведенная к гипотенузе, делит прямой угол в отношении 1:2, то есть делит гипотенузу на отрезки, в котором отношение одного отрезка к другому равно 2.

По условию задачи, медиана, проведенная к гипотенузе, равна 6. Пусть x - длина отрезка гипотенузы, которую делит медиана. Тогда другой отрезок гипотенузы будет равен 2x, так как их отношение равно 2.

Опишем условие медианы в прямоугольном треугольнике: (a^2 + b^2) / 2 = c^2/2 + x^2. Так как прямоугольный треугольник, то a^2 + b^2 = c^2.

Подставим найденное отношение отрезков гипотенузы и решим уравнение:

(a^2 + b^2) / 2 = (2x^2 + x^2)/2

(a^2 + b^2) / 2 = 3x^2/2

a^2 + b^2 = 3x^2

c^2 = 3x^2

Так как c^2 = a^2 + b^2, то a^2 + b^2 = 3x^2

Таким образом, мы получили систему уравнений:

a^2 + b^2 = 3x^2

c^2 = 3x^2

Зная, что a^2 + b^2 = c^2, приравняем выражения:

c^2 = 3x^2

Тогда:

c = √(3x^2)

Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна 6, имеем:

6 = √(3x^2)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

36 = 3x^2

Разделим обе части уравнения на 3:

12 = x^2

Возьмем корень из обеих частей уравнения:

√12 = x

Таким образом, длина отрезка гипотенузы, которую делит медиана, равна √12.

Теперь найдем длины катетов треугольника.

Один из отрезков гипотенузы равен 2x, следовательно:

2x = 2 * √12 = √48

Другой отрезок гипотенузы равен x, следовательно:

x = √12

Таким образом, катеты треугольника равны √48 и √12.