Question

Центр окружности описанной около трапеции лежит на большем основании трапеции. Основания трапеции равны 5 и 13. Найти площадь трапеции

Answer 1

Обозначим углы трапеции А, В, С, D, где AD - большее основание трапеции,
пусть точка О - середина АD и центр вписанной окружности.
Поскольку трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.  
Пусть ОН - перпендикуляр, опущенный из центра окружности на сторону ВС. ОН будет высотой трапеции АВСD.
Из прямоугольного треугольника ОВН по теореме Пифагора:
ОН=$\sqrt{BO^2-BH^2}$ = $\sqrt{(AD/2)^2-(BC/2)^2}$ = $\sqrt{6,5^2-2,5^2}$ = 6
Площадь трапеции S=(AD+BC)*OH/2 = (13+5)*6/2 = 54.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим точки вершин трапеции. Пусть A и B - это концы меньшего основания (5 единиц), а C и D - это концы большего основания (13 единиц). Пусть O - это центр окружности, описанной около трапеции.

Так как центр окружности лежит на большем основании, то отрезок OC, проходящий через центр окружности и соединяющий середины большего основания трапеции (то есть отрезок OC), является высотой трапеции. Эта высота делит трапецию на два треугольника: треугольник OBC и треугольник OAD.

Теперь, мы знаем, что треугольник OBC и треугольник OAD являются прямоугольными треугольниками (поскольку центр окружности является центром прямоугольного треугольника, построенного на диаметре окружности).

Пусть \( h \) - это высота трапеции (расстояние от центра окружности до большего основания), \( OB = OD = r \) - радиус окружности, \( BC = AD = a \) - расстояние от центра окружности до вершины трапеции.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника OBC и OAD. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для каждого из них:

1. В треугольнике OBC: \[ r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = h^2 \]

2. В треугольнике OAD: \[ r^2 + \left(\frac{13 - a}{2}\right)^2 = h^2 \]

Теперь мы можем решить систему уравнений относительно \( a \) и \( h \).

Решив систему уравнений, найдем значения \( a \) и \( h \). После этого площадь трапеции (\( S \)) можно найти, используя формулу для площади трапеции:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (a + 13) \cdot h \]

Это даст вам площадь трапеции, описанной в задаче.