Question

y=2x^3-3x^2 ,найти екстремуми функции

Answer 1

Для решения нужно найти первую производную функции:
у'=6х²-6х
Далее приравниваем к нулю, откуда получаем х=0 и х=1

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции \(y = 2x^3 - 3x^2\), нужно найти её производные и решить уравнения, приравняв производные к нулю.

1. Начнем с нахождения первой производной функции \(y\):

\[y = 2x^3 - 3x^2\]

\[y' = \frac{dy}{dx} = 6x^2 - 6x\]

2. Теперь приравняем \(y'\) к нулю и решим уравнение:

\[6x^2 - 6x = 0\]

Вынесем общий множитель:

\[6x(x - 1) = 0\]

Таким образом, у нас два возможных значения \(x\): \(x = 0\) и \(x = 1\).

3. Теперь найдем значения функции \(y\) при \(x = 0\) и \(x = 1\):

\[y(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 = 0\]

\[y(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 = -1\]

Таким образом, у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: \((0, 0)\) и \((1, -1)\).

Чтобы определить тип экстремума (минимум или максимум), нужно проанализировать знак второй производной.

4. Найдем вторую производную функции \(y\):

\[y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 12x - 6\]

5. Теперь подставим найденные значения \(x\): \(x = 0\) и \(x = 1\) в \(y''\):

\[y''(0) = 12(0) - 6 = -6\]

\[y''(1) = 12(1) - 6 = 6\]

При \(x = 0\) вторая производная отрицательна, что означает, что у нас есть локальный максимум в точке \((0, 0)\). При \(x = 1\) вторая производная положительна, что означает, что у нас есть локальный минимум в точке \((1, -1)\).

Таким образом, функция \(y = 2x^3 - 3x^2\) имеет локальный максимум в точке \((0, 0)\) и локальный минимум в точке \((1, -1)\).