Question

Решите неравенство: в) х2-4х+2》0 г) х+1>х2 Х2-это хв квадрате, если что Помогите, пожалуйста

Answer 1

Даны квадратные уравнения.
в) х²-4х+2>=0
Дискриминант - D = 8,   √8~2.83,  корни х1~ 3.414   x~ 0.59
ОТВЕТ Х ⊂ (-∞;0,59),(3,41;+∞)
г) х+1>x²  или   х²-х-1<0    D=5,   √5~2.24   корни x1=1.62   x2 = -0.62
ОТВЕТ   -0,62 < x < 1.62 

 
 

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое неравенство поочередно.

а) \(x^2 - 4x + 2 > 0\)

Чтобы решить это неравенство, давайте найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 4x + 2 = 0\). Корни можно найти, используя формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном случае:

\(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 2\).

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8\]

Так как дискриминант положителен, у уравнения два действительных корня, и они различны:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}\]

Корни уравнения \(x^2 - 4x + 2 = 0\) равны \(2 + \sqrt{2}\) и \(2 - \sqrt{2}\).

Теперь нам нужно определить знак выражения \(x^2 - 4x + 2\) в каждом из трех интервалов, образованных этими корнями:

1. Если \(x < 2 - \sqrt{2}\), то оба слагаемых \((x - (2 + \sqrt{2}))(x - (2 - \sqrt{2}))\) будут положительными, следовательно, \(x^2 - 4x + 2 > 0\) в этом интервале. 2. Если \(2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}\), то одно из слагаемых будет положительным, а другое отрицательным, таким образом, \(x^2 - 4x + 2 < 0\) в этом интервале.

3. Если \(x > 2 + \sqrt{2}\), то оба слагаемых будут отрицательными, следовательно, \(x^2 - 4x + 2 > 0\) в этом интервале.

Итак, решение неравенства \(x^2 - 4x + 2 > 0\) имеет вид:

\[x \in (-\infty, 2 - \sqrt{2}) \cup (2 + \sqrt{2}, +\infty)\]

б) \(x + 1 > x^2\)

Давайте перенесем все члены влево, чтобы получить квадратное уравнение:

\[x^2 - x - 1 < 0\]

Это квадратное уравнение имеет дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5\]

Дискриминант положителен, следовательно, у уравнения два действительных корня:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\]

Теперь определим знак выражения \(x^2 - x - 1\) в каждом из трех интервалов, образованных этими корнями:

1. Если \(x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\), то оба слагаемых \((x - \frac{1 + \sqrt{5}}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{5}}{2})\) будут положительными, следовательно, \(x^2 - x - 1 < 0\) в этом интервале.

2. Если \(\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), то одно из слагаемых будет положительным, а другое отрицательным, таким образом, \(x^2 - x - 1 > 0\) в этом интервале.

3. Если \(x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), то оба слагаемых будут отрицательными, следовательно, \(x^2 - x - 1 < 0\) в этом интервале.

Итак, решение неравенства \(x + 1 > x^2\) имеет вид:

\[x \in \left(-\infty, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty\right)\]