Question

Найти экстремумы функции: z=2x^2+20 y^2+4xy+16y-7

Answer 1

Необходимое условие экстремума: $\frac{\vartheta z}{\vartheta x},\frac{\vartheta z}{\vartheta y}\in \{0,\phi\}$
$\frac{\vartheta z}{\vartheta x}=4x+4y \\ \frac{\vartheta z}{\vartheta y}=40y+4x+16 \\ \forall(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \frac{\vartheta z}{\vartheta x},\frac{\vartheta z}{\vartheta y} \neq \phi \\ \frac{\vartheta z}{\vartheta x}=0 \ <=> \ 4x+4y=0 \\ \frac{\vartheta z}{\vartheta y}=0 \ <=> \ 40y+4x+16=0 \\ \left \{ {{4x+4y=0} \atop {4x+40y+16=0}} \right. \ => \ 36y+16=0 \ => \ y=-\frac{4}{9} \ => \ (x,y)=(\frac{4}{9},-\frac{4}{9})$

Проверка на пустое множество обязательна: возможен вариант, когда экстремум приходится на точку устранимого разрыва, (например:
$f(x)= \left \{ {{x^2 \ \ \ \forall x \neq 0} \atop {-1 \ \ \ x=0}} \right.$) или на точку, в которой функция не дифференциируема (например: $f(x)=|x|$). 

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции z = 2x^2 + 20 + y^2 + 4xy + 16y - 7, нам необходимо взять частные производные по переменным x и y и приравнять их к нулю. Это позволит нам найти точки, где функция достигает локального минимума или максимума.

Частная производная по переменной x

Чтобы найти частную производную по переменной x, мы будем дифференцировать функцию z по x, считая y константой. Возьмем производную каждого члена по отдельности:

d/dx (2x^2) = 4x d/dx (4xy) = 4y d/dx (20) = 0 d/dx (-7) = 0

Теперь сложим все члены вместе:

dz/dx = 4x + 4y

Частная производная по переменной y

Чтобы найти частную производную по переменной y, мы будем дифференцировать функцию z по y, считая x константой. Возьмем производную каждого члена по отдельности:

d/dy (y^2) = 2y d/dy (4xy) = 4x + 16 d/dy (16y) = 16 d/dy (-7) = 0

Теперь сложим все члены вместе:

dz/dy = 2y + 4x + 16

Нахождение точек экстремума

Теперь, когда у нас есть выражения для частных производных по x и y, приравняем их к нулю и решим полученные уравнения относительно x и y:

4x + 4y = 0 2y + 4x + 16 = 0

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения x и y, соответствующие точкам экстремума.

Вычтем первое уравнение из второго:

2y + 4x + 16 - (4x + 4y) = 0 2y - 4y + 16 = 0 -2y + 16 = 0 2y = 16 y = 8

Подставим найденное значение y в первое уравнение:

4x + 4 * 8 = 0 4x + 32 = 0 4x = -32 x = -8

Таким образом, мы получили точку экстремума (x, y) = (-8, 8).

Проверка на тип экстремума

Чтобы определить, является ли точка (-8, 8) точкой минимума или максимума, мы можем использовать вторые производные. Для этого возьмем вторые производные по x и y:

d^2z/dx^2 = 4 d^2z/dy^2 = 2

Мы видим, что вторая производная по x положительна, а вторая производная по y также положительна. Это означает, что точка (-8, 8) является точкой минимума функции.

Итоговый ответ

Таким образом, функция z = 2x^2 + 20 + y^2 + 4xy + 16y - 7 имеет точку минимума в точке (-8, 8), где значение функции z достигает минимального значения.