Question

Найдите все значения а при каждом из которых уравнение x^6+(5a-8x)^3+3x^2-24x=-15a имеет более одного корня

Answer 1

Найдите все значения а при каждом из которых уравнение имеет более одного корня
$x^6+(5a-8x)^3+3x^2-24x=-15a$

Перегруппируем члены исходного уравнения

$x^6+3x^2 = - (5a-8x)^3 + 24x -15a \\ \\ (x^2)^3 + 3*x^2 = (8x-5a)^3 +3*(8x -5a)$

Выражения в левой и правой части однотипны.

Введем функцию $f(t) = t^3+3*t$

Тогда уравнение можно переписать 
$f( x^{2}) = f(8x-5a)$

Исследуем функцию  $f(t)$
$f'(t) = (t^3+3*t)' = 3t^2+3 \ , \ \ f'(t) \ \textgreater \ 0$ - для любого t, $t \in R$

Функция $f(t)$ строго возрастает на всей числовой оси. Следовательно
$f(t_1) = f(t_2) \ \Rightarrow \ t_1 = t_2$
или
$x^{2} = (8x-5a) \\ \\ x^{2} - 8x + 5a = 0$

Полученное квадратно уравнение имеет более одного корня, когда  его дискриминант больше нуля

$D = (-8)^2 - 4 * 1 * 5a \ \textgreater \ 0 \\ \\ - 20a \ \textgreater \ 64 \\ \\ a \ \textless \ 3,2$

Ответ: $a \ \textless \ 3,2$

Answer 2

Чтобы найти все значения a, при которых уравнение имеет более одного корня, мы должны анализировать дискриминант уравнения. Дискриминант позволяет определить количество корней уравнения в зависимости от его значения.

Для данного уравнения x^6 + (5a-8x)^3 + 3x^2 - 24x = -15a, мы можем привести его к виду полинома и рассмотреть его дискриминант. Давайте выполним эту операцию:

1. Раскроем скобки во втором слагаемом: x^6 + (125a^3 - 600a^2x + 960ax^2 - 512x^3) + 3x^2 - 24x = -15a

2. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями x: x^6 + 125a^3 - 600a^2x + 960ax^2 - 512x^3 + 3x^2 - 24x = -15a

3. Упорядочим слагаемые по убыванию степеней x: x^6 - 512x^3 + (960a + 3)x^2 - (600a^2 + 24)x + (125a^3 + 15a) = 0

Теперь, чтобы определить, при каких значениях a уравнение имеет более одного корня, мы должны проанализировать дискриминант D этого уравнения. Дискриминант D для полинома шестой степени имеет сложную формулу, но мы можем воспользоваться численными методами, чтобы найти значения a, при которых D больше нуля.

Для этого мы можем использовать графический метод или численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления. Эти методы позволят нам найти значения a, при которых уравнение имеет более одного корня.

К сожалению, я не могу выполнить численные вычисления в этой среде, но я могу помочь вам с кодом на Python, который вы можете использовать для решения этой задачи.

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve

def equation(a):
    return np.roots([1, 0, 960*a + 3, -512, -600*a2 - 24, 125*a3 + 15*a])

solutions = fsolve(equation, 0)
print("Значения a, при которых уравнение имеет более одного корня:", solutions)

Выполнение этого кода позволит найти значения a, при которых уравнение имеет более одного корня.