Question

Решите уравнения : 8 в степени 2x+1=0,125 ; Log5(x-4)+Log 5x=1 ; 2 в степени x+4 -2 в степени x=120

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение поочередно.

1. \(8^{2x + 1} = 0.125\)

Сначала преобразим правую часть уравнения, чтобы обе стороны содержали одну и ту же базу:

\(0.125 = \frac{1}{8} = 8^{-1}\)

Теперь у нас уравнение имеет вид:

\[8^{2x + 1} = 8^{-1}\]

Сравнивая показатели степени, получаем:

\[2x + 1 = -1\]

Решаем для \(x\):

\[2x = -2\]

\[x = -1\]

2. \(\log_5(x-4) + \log_5x = 1\)

Используем свойства логарифмов, чтобы объединить их в один логарифм:

\[\log_5{(x-4) \cdot x} = 1\]

Теперь преобразуем уравнение в экспоненциальную форму:

\[5^1 = (x-4) \cdot x\]

\[5 = x^2 - 4x\]

Приведем уравнение к стандартному виду и решим его:

\[x^2 - 4x - 5 = 0\]

Решим квадратное уравнение с помощью квадратного корня:

\[x = \frac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-5)}}{2}\]

\[x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}\]

\[x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}\]

\[x = \frac{4 \pm 6}{2}\]

\[x_1 = 5, \quad x_2 = -1\]

Однако, так как логарифм аргумента должен быть положительным, отбрасываем \(x_2 = -1\).

Таким образом, единственное допустимое решение - \(x = 5\).

3. \(2^{x + 4} - 2^x = 120\)

Преобразуем уравнение:

\[2^x \cdot 2^4 - 2^x = 120\]

\[16 \cdot 2^x - 2^x = 120\]

\[15 \cdot 2^x = 120\]

Теперь делим обе стороны на 15:

\[2^x = \frac{120}{15}\]

\[2^x = 8\]

Так как \(2^3 = 8\), то:

\[x = 3\]

Итак, решения уравнений:

1. \(x = -1\) 2. \(x = 5\) 3. \(x = 3\)