Question

Найти dx(A)/dl если я= (2x-1)y^2+ y/x l(3;4) A(1;2)

Answer 1

Производная функции z по направленю  $\overline{l}=(3,4)$  в точке А(1,2).

$z=\frac{2x-1}{y^2}+\frac{y}{x}\\\\z'_{x}=\frac{2}{y^2}-\frac{y}{x^2},\; \; z'_{x}(A)=\frac{1}{2^2}-\frac{2}{1^2}=\frac{1}{4}-2=-\frac{7}{4}\\\\z'_{y}=\frac{-2y(2x-1)}{y^4}=-\frac{2(2x-1)}{y^3},\; \; z'_y}(A)=-\frac{2(2-1)}{2^3}=-\frac{1}{4}\\\\\jverline{l}=(3,4),\; cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{3}{5},\\\\cos \beta =\frac{4}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{4}{5}\\\\\\\frac{dz}{dl}(A)=z'_{x}(A)cos \alpha +z'_{y}(A)cos \beta =-\frac{7}{4}\cdot \frac{3}{5}-\frac{1}{4}\cdot \frac{4}{5}=-\frac{5}{4}$

Answer 2

Для решения данной задачи требуется найти производную функции x(A) по переменной l.

Исходя из данной задачи, у нас есть несколько переменных: x, y и A, а также параметр l. Мы должны найти производную dx/dl, при условии, что y = (2x - 1)y^2 + y/x и A = (3, 4).

Для начала, найдем производную y по x, используя правило дифференцирования сложной функции:

dy/dx = d((2x - 1)y^2 + y/x)/dx

Теперь продифференцируем каждое слагаемое по отдельности:

1) Дифференцируем (2x - 1)y^2 по x: d((2x - 1)y^2)/dx = (2)(2x - 1)y(dy/dx) + (2x - 1)(2y)(dy/dx)

2) Дифференцируем y/x по x: d(y/x)/dx = (1/x)(dy/dx) - y/x^2

Теперь объединим все слагаемые:

dy/dx = (2)(2x - 1)y(dy/dx) + (2x - 1)(2y)(dy/dx) + (1/x)(dy/dx) - y/x^2

Вынесем dy/dx за скобки:

dy/dx - (2)(2x - 1)y(dy/dx) - (2x - 1)(2y)(dy/dx) - (1/x)(dy/dx) + y/x^2 = 0

Теперь найдем dy/dx:

dy/dx(1 - 4x + 2y - 4xy - 1/x) = y/x^2

dy/dx = (y/x^2) / (1 - 4x + 2y - 4xy - 1/x)

Теперь, когда у нас есть выражение для dy/dx, мы можем продолжить и найти dx/dl.

dx/dl = dx/dy * dy/dx * dl/dl

Дано, что A = (1, 2), поэтому x(A) - это функция x, зависящая от переменной A. Мы можем записать это как x = x(A).

Теперь, чтобы найти dx/dl, нам нужно продифференцировать x по A и умножить на dy/dx и dl/dl:

dx/dl = dx/dA * dy/dx * dl/dl

Мы можем найти dx/dA, используя следующее выражение:

dx/dA = dx/dx * dx/dA

Так как x = x(A), dx/dx равно 1. Таким образом, dx/dA = 1 * dx/dA = dx/dA.

Теперь мы можем записать окончательное выражение для dx/dl:

dx/dl = dx/dA * dy/dx * dl/dl

Таким образом, для полного решения задачи, нам необходимо найти dx/dA, dy/dx и dl/dl, а затем вычислить значение dx/dl.