Question

Квадрат площадью 64 кв.см разделен на два прямоугольника так, что площадь одного из них на 16 кв.см больше площади другого. На стороне квадрата построен треугольник, две стороны которого равны, а периметр равен периметру большего из прямоугольников. Найти стороны этого треугольника. Рассмотреть разные случаи.

Answer 1

площади полученных фигур равны

40кв.см и 24 кв.см

Одна из сторон прямоугольника равна 8 см (потому что делили квадрат)

Значит вторая сторона первого прямоугольника равна:

40/8=5см

Вторая сторона второго прямоугольника равна:

24/8=3см

Периметр большего из прямоугольников равен:

8+8+5+5=26см

Этот периметр равен периметру треугольника (по условию задачи)

Одна из сторон треугольника равна 8 см (так как построена на стороне квадрата - по условию).

Если одна из сторон равна этой стороне (8 см), то третья сторона равна 26-8-8=10 см.

Если две другие стороны между собой равны, то :

(26-8)/2=9см - вторая и третья стороны.

Ответ. 8см, 8см и 10см; или 8см, 9см и 9см.

Answer 2

Давайте обозначим стороны квадрата через \(a\), а его площадь — через \(S\). Известно, что \(S = 64 \, \text{см}^2\). Также, пусть стороны прямоугольников будут \(x\) и \(y\), где \(x > y\), и мы знаем, что \(x = y + 16\).

Площадь прямоугольников:

1. \(xy\) (площадь меньшего прямоугольника), 2. \((y + 16)y = y^2 + 16y\) (площадь большего прямоугольника).

С учетом того, что эти два прямоугольника образуют квадрат площадью \(S\), у нас есть уравнение:

\[xy + y^2 + 16y = 64.\]

Теперь по условию задачи треугольник строится на стороне квадрата. Пусть \(h\) — высота треугольника, тогда его площадь можно выразить как \(S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\). Также, периметр треугольника равен периметру большего прямоугольника: \(2(x + y)\).

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \[xy + y^2 + 16y = 64\] 2. \[2(x + y) = a + 2y\]

Давайте рассмотрим несколько случаев:

Случай 1: \(y = 0\)

Если \(y = 0\), то \(x = 16\) (согласно условию) и уравнение 1 становится \(16 \cdot 0 + 0 + 16 \cdot 0 = 64\), что верно. Это подтверждает корректность решения.

Случай 2: \(y > 0\)

Подставим \(x = y + 16\) в уравнение 1:

\[(y + 16)y + y^2 + 16y = 64.\]

Решив это уравнение, мы найдем значение \(y\). После этого можно найти \(x = y + 16\).

Случай 3: \(y < 0\)

Этот случай не имеет физического смысла, так как сторона прямоугольника не может быть отрицательной.

Итак, решив уравнения в случае 2, мы найдем значения \(x\) и \(y\). После этого можем построить треугольник, используя стороны квадрата и найденные значения \(x\) и \(y\).