Question

Решить показательное уравнение методом замены переменной 9^x+4^x=2*6^x

Answer 1

Применены : свойства степени, замена переменной

Answer 2

Конечно, давайте решим это показательное уравнение.

У нас есть уравнение: \(9^x + 4^x = 2 \cdot 6^x\).

Давайте заменим \(9\) и \(4\) числом \(6\), чтобы свести уравнение к более простому виду, используя известные показательные равенства.

Мы можем заменить \(9\) на \(6^2\) и \(4\) на \(2^2\), так как \(6^2 = 36\) и \(2^2 = 4\).

Таким образом, наше уравнение будет выглядеть так: \((6^2)^x + (2^2)^x = 2 \cdot 6^x\).

Используя свойство степени степени (что \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)), мы получим: \(6^{2x} + 2^{2x} = 2 \cdot 6^x\).

Теперь давайте сделаем замену переменной. Представим \(6^x\) как новую переменную, скажем, \(y\), тогда \(6^{2x} = y^2\). Тогда уравнение станет: \(y^2 + 2^{2x} = 2y\).

Давайте заметим, что \(2^{2x}\) - это \(2\) в степени \(2x\), что равно \((2^x)^2\). Таким образом, у нас есть: \(y^2 + (2^x)^2 = 2y\).

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(y\): \(y^2 - 2y + (2^x)^2 = 0\).

Это уравнение можно решить с помощью квадратного уравнения или завершить квадрат, чтобы получить:

\((y - 2)^2 = 4 - (2^x)^2\).

Отсюда можно найти \(y\) (то есть \(6^x\)) и продолжить решение.

Надеюсь, это помогло! Если нужно, могу продолжить решение этого уравнения.