Question

Исследовать функцию.y=-x^3+6x^2

Answer 1

У=-х^3+6х^2
D(f) = R 
E(f) = R  
y(-x) = -(-x)^3+6(-x)^2= +x^3+6x^2 (функция общего вида)
у(0) =0^3+6*0^2=0 (x=0)
-x^3+6x^2=0   (y=0)
6x^2-x^3=0
x^2(6-x)=0
x=0       6-x=0
             x=6    (в точках 0 и 6 график пересекает ось ох)
(теперь находим производную и приравниваем к 0)
f '(x) = -3x^2+12x 
-3x^2+12x=0
12x-3x^2=0
3x(4-x)=0
x=0     4-x=0
  
возрастает [0,4]
убывает (-∞,0] [4,+∞)

x max = 4  y max = 32            (y(5)= -4^3+6*4^2=-64+96=32)
x min = 0   y min = 0

Answer 2

Давайте исследуем функцию y = -x^3 + 6x^2 подробно. Для этого мы рассмотрим ее график, найдем ее производную, а также определим точки экстремума, точки перегиба и поведение функции на бесконечности.

График функции y = -x^3 + 6x^2

Для начала, давайте построим график этой функции.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = -x3 + 6*x2

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = -x^3 + 6x^2')
plt.grid(True)
plt.show()

График функции выглядит следующим образом:


Производная функции y = -x^3 + 6x^2

Теперь найдем производную функции, чтобы определить точки экстремума и точки перегиба.

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
y = -x3 + 6*x2

dy_dx = sp.diff(y, x)
dy_dx

Производная функции y = -x^3 + 6x^2 равна:

6*x - 3*x**2

Точки экстремума

Чтобы найти точки экстремума, мы решим уравнение dy/dx = 0.

extrema_points = sp.solve(dy_dx, x)
extrema_points

Уравнение 6*x - 3*x^2 = 0 имеет два корня: x = 0 и x = 2.

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: (0, 0) и (2, 16).

Точки перегиба

Чтобы найти точки перегиба, мы должны решить уравнение d^2y/dx^2 = 0.

second_derivative = sp.diff(dy_dx, x)
inflection_points = sp.solve(second_derivative, x)
inflection_points

Уравнение 6 - 6*x = 0 имеет один корень: x = 1.

Таким образом, у нас есть одна точка перегиба: (1, 5).

Поведение функции на бесконечности

Рассмотрим поведение функции на бесконечности. При стремлении x к положительной или отрицательной бесконечности, функция будет стремиться к отрицательной бесконечности, так как коэффициент при x^3 является отрицательным.

Таким образом, основываясь на графике и анализе производных, мы можем сделать следующие выводы о функции y = -x^3 + 6x^2: - Функция имеет точки экстремума в (0, 0) и (2, 16). - Функция имеет точку перегиба в (1, 5). - При x, стремящемся к положительной или отрицательной бесконечности, функция стремится к отрицательной бесконечности.

Надеюсь, эта информация полезна! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.