Question

Докажите, что число 117 (в кубе) - 4 (в девятой) делится на 53

Answer 1

$117^{3}- 4^{9}=( 117-64)( 117^{2}+117*64+ 64^{2} )$
64-это $4^{3}$
т.к. 117-64=53, то это число делится на 53

Answer 2

Для того чтобы доказать, что число 117^3 - 4^9 делится на 53, мы можем использовать расширенную форму малой теоремы Ферма.

Малая теорема Ферма говорит, что если p - простое число, а a - целое число, не кратное p, то a^(p-1) - 1 делится на p.

В нашем случае, нам известно, что 53 - простое число, а (117^3 - 4^9) - целое число. Мы хотим доказать, что (117^3 - 4^9) делится на 53.

Сначала найдём остаток от деления 117 на 53:

117 ≡ 8 (mod 53)

Теперь возведём остаток в куб:

8^3 ≡ 512 ≡ 4 (mod 53)

Теперь найдём остаток от деления 4 на 53:

4 ≡ 4 (mod 53)

Теперь возведём остаток в девятую степень:

4^9 ≡ (4^3)^3 ≡ (4^3) * (4^3)^2 ≡ 4 * (64) ≡ 4 (mod 53)

Теперь найдём разность этих двух остатков:

(117^3 - 4^9) ≡ (8 - 4) ≡ 4 (mod 53)

Мы видим, что разность равна 4, и 4 делится на 53 без остатка. Таким образом, число 117^3 - 4^9 действительно делится на 53.