Question

Log 2 x = - log 0.5 (18-x)

Answer 1

Log _______________________________________________

Answer 2

Конечно, решим уравнение поэтапно, используя свойства логарифмов.

У нас дано уравнение:

\[ \log_2(x) = -\log_{0.5}(18 - x) \]

Первым шагом мы можем преобразовать уравнение, используя базовые свойства логарифмов. Заметим, что \(\log_{0.5}(x) = -\log_2(x)\), так как \(0.5 = 2^{-1}\):

\[ \log_2(x) = \log_{0.5} \left( \frac{1}{18 - x} \right) \]

Это даёт нам равенство логарифмов с одной и той же базой. Значит, аргументы логарифмов также равны:

\[ x = \frac{1}{18 - x} \]

Теперь у нас уравнение с одной переменной \(x\). Давайте избавимся от дроби, умножив обе стороны на \(18 - x\):

\[ x(18 - x) = 1 \]

Раскроем скобки:

\[ 18x - x^2 = 1 \]

Получаем квадратное уравнение:

\[ x^2 - 18x + 1 = 0 \]

Чтобы решить это уравнение, можно воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = -18\), \(c = 1\).

\[ x = \frac{18 \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4}}{2} \]

\[ x = \frac{18 \pm \sqrt{320}}{2} \]

\[ x = \frac{18 \pm 4\sqrt{5}}{2} \]

\[ x = 9 \pm 2\sqrt{5} \]

Таким образом, у нас два решения:

\[ x = 9 + 2\sqrt{5} \] \[ x = 9 - 2\sqrt{5} \]

Проверим оба значения подстановкой в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они подходят.