Question

вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2-4x+3; y=x-1

Answer 1

y₁ = x² - 4x + 3;   y₂ = x - 1

исследуем функцию  y₁ = x² - 4x + 3

Нули функции:

x² - 4x + 3 = 0

D = 16 - 12 = 4

√D = 2

x₁ = (4 - 2):2 = 1

x₂ = (4 + 2):2 = 3

Вершина параболы: х = 4/2 = 2

у(2) = 4 - 4·2 + 3 = -1

Для определения пределов интегрирования найдёи точки пересечения функций

y₁ = x² - 4x + 3 и  y₂ = x - 1

x² - 4x + 3 = х - 1

x² - 5x + 4 = 0

D = 25 - 16 = 9

√D = 3

x₁ = (5 - 3):2 = 1

x₂ = (5 + 3):2 = 4

Итак, нижний предел интегрирования x₁ = 1, верхний - x₂ = 4

Поскольку на интервале х∈(1,4)  у₂ > у₁, то будем находить интеграл от разности

у₂ - у₁ = x - 1 - (x² - 4x + 3) = x - 1- x² + 4x - 3 = - x² + 5x - 4

 ∫(- x² + 5x - 4)dx = -x³/3 + 5x²/2 - 4x

Подставим пределы интегрирования

S = (-64/3 + 5·16/2 - 4·4) - (-1/3 + 5/2 - 4) = -64/3 + 40 - 16 +1/3 - 5/2 + 4 =

= - 21 + 28 - 2,5 = 4,5

 

 

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми линиями, необходимо найти точки их пересечения и интегрировать разность функций между этими точками по оси x.

Для начала, найдем точки пересечения двух функций y = x^2 - 4x + 3 и y = x - 1. Чтобы это сделать, приравняем эти две функции друг к другу:

x^2 - 4x + 3 = x - 1

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

x^2 - 5x + 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем либо факторизовать его, либо воспользоваться формулой корней квадратного уравнения. В данном случае, мы можем факторизовать его следующим образом:

(x - 4)(x - 1) = 0

Таким образом, получаем два корня: x = 4 и x = 1.

Теперь мы можем использовать эти точки пересечения, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми линиями. Для этого мы интегрируем разность функций между этими двумя точками по оси x:

Площадь = ∫(y2 - y1) dx

где y2 и y1 - это значения функций y = x^2 - 4x + 3 и y = x - 1 соответственно.

Вычислим значения этих функций в точках x = 4 и x = 1:

y2 = (4)^2 - 4(4) + 3 = 7 y1 = (1) - 1 = 0

Теперь интегрируем разность функций между этими точками:

Площадь = ∫(7 - 0) dx = ∫7 dx

Интегрируя по оси x, получаем:

Площадь = 7x + C

где C - это постоянная интегрирования.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 4x + 3 и y = x - 1, равна 7x + C, где x - это переменная, представляющая точки на оси x, ограничивающие эту фигуру.

Примечание: В данном случае, так как нам не даны конкретные границы фигуры по оси x, мы не можем вычислить точное численное значение площади. Если вам нужно вычислить численное значение площади, вам необходимо знать границы фигуры или использовать другой метод численного интегрирования, такой как метод прямоугольников или метод трапеций.