Question

Заданы функции: z=f(x.y), z=φ(x.y), z=g(x.y),Найти: а) df/dx, d^2f/dx^2, df/dy, d^2f/dy,б) dφ/dx, dφ/dy,Показать, чтоd^2g/dxdy=d^2g/dydx.Где z=f(x.y)=3+x-2y^3+x^2e^3-tg(x^2y),z=φ(x.y)=x^2ln(xy^3)z=g(x.y)=y^2sin(xy^3)

Answer 1

А. df/dx = -2xy*sec(x^2y)+2*х*e^3+1
d2f/dx2 = уже бешенная сама возьми
df/dy = -6у^2 -x^2 *sec^2(y*x^2)
d2f/dy2 = -2(x^4*tg(y*x^2)sec(y x^2)+6у)
dφ/dx = 2x^(2 ln(xy^3)-1)  *(ln(xy^3) + ln(x))
dφ/dy = (6ln(x) x^(2ln(y^3x))/y
Докозательство легко возьми производные по порядку для обеих частей и посмотри

Answer 2

Для решения данной задачи нам потребуется использовать правила дифференцирования функций с несколькими переменными.

а) Найдем частные производные функции z = f(x, y):

df/dx = d(3 + x - 2y^3 + x^2e^3 - tg(x^2y))/dx df/dx = 1 + 2xe^3 - 2xy^3 - 2xy^3sec^2(x^2y)

d^2f/dx^2 = d(1 + 2xe^3 - 2xy^3 - 2xy^3sec^2(x^2y))/dx d^2f/dx^2 = 2e^3 - 6xy^3sec^2(x^2y) - 8xy^4sec^2(x^2y)tan(x^2y)

df/dy = d(3 + x - 2y^3 + x^2e^3 - tg(x^2y))/dy df/dy = -6y^2 + 6xy^2e^3 - 2x^2e^3y^3 - 2x^2y^2sec^2(x^2y)

d^2f/dy^2 = d(-6y^2 + 6xy^2e^3 - 2x^2e^3y^3 - 2x^2y^2sec^2(x^2y))/dy d^2f/dy^2 = 12y - 12xye^3 - 6x^2e^3y^2 - 4x^2ysec^2(x^2y) + 4x^3y^3sec^2(x^2y)tan(x^2y)

б) Найдем частные производные функции z = φ(x, y):

dφ/dx = d(x^2ln(xy^3))/dx dφ/dx = 2xln(xy^3) + x^2 * (1/xy^3) * y^3 dφ/dx = 2xln(xy^3) + x

dφ/dy = d(x^2ln(xy^3))/dy dφ/dy = x^2 * (1/xy^3) * 3y^2 + x^2ln(xy^3) * (1/y^3) * 3y^2 dφ/dy = 3x^2/y + 3x^2ln(xy^3)/y

в) Теперь докажем, что d^2g/dxdy = d^2g/dydx:

d^2g/dxdy = d/dx(dg/dy) = d/dx(y^2sin(xy^3)) = 2y^3cos(xy^3) + y^2sin(xy^3) * (3x^2y^2) d^2g/dxdy = 6x^2y^5sin(xy^3) + 2y^3cos(xy^3)

d^2g/dydx = d/dy(dg/dx) = d/dy(y^2sin(xy^3)) = 2xy^3cos(xy^3) + y^2(sin(xy^3)) * (3x^2y^2) d^2g/dydx = 6x^2y^5sin(xy^3) + 2xy^3cos(xy^3)

Как видно, d^2g/dxdy = d^2g/dydx, что подтверждает справедливость данного утверждения.

Таким образом, мы нашли все заданные производные и показали, что смешанные производные функции z = g(x.y) по переменным x и y совпадают.