Question

На рисунке изоброжекн прямоугльный параллепипед MNKPEFCD, измерения котрого равны 8 см, 5 см и 3 см. Вычислите сумму длин всех его рёбер и площадь поверхности

Answer 1

Сумма длин всех ребер  4(a+b+c) = 4(8+5+3)=64 см
площадь   S= 2(ab+bc+ac)= 2(8*5+5*3+3*8)=2(40+15+24)=158 см²

Answer 2

Чтобы вычислить сумму длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда, нужно сложить длины всех его рёбер.

Длина каждого ребра можно найти, применив формулу длины отрезка между двумя точками в пространстве:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты концов ребра, а d - его длина.

Пусть прямоугольный параллелепипед имеет рёбра, параллельные осям координат и пересекающиеся с ними на осях в точках А(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, b, 0), D(0, b, 0), E(0, 0, c), F(a, 0, c), G(a, b, c), и H(0, b, c), где а = 8, b = 5 и c = 3.

Тогда, используя формулу для вычисления длины отрезка между двумя точками, найдём длину каждого ребра:

AB = √((a - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2) = √(a^2) = √(8^2) = 8 см

BC = √((a - a)^2 + (b - 0)^2 + (0 - 0)^2) = √(b^2) = √(5^2) = 5 см

CD = √((0 - a)^2 + (b - b)^2 + (0 - 0)^2) = √((-a)^2) = √(8^2) = 8 см

DA = √((0 - 0)^2 + (0 - b)^2 + (0 - 0)^2) = √(b^2) = √(5^2) = 5 см

AE = √((0 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (c - 0)^2) = √(c^2) = √(3^2) = 3 см

EF = √((a - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (c - 0)^2) = √(a^2 + c^2) = √(8^2 + 3^2) = √(73) см

FG = √((a - a)^2 + (b - 0)^2 + (c - 0)^2) = √(b^2 + c^2) = √(5^2 + 3^2) = √(34) см

GH = √((0 - a)^2 + (b - b)^2 + (c - 0)^2) = √(a^2 + c^2) = √(8^2 + 3^2) = √(73) см

HA = √((0 - 0)^2 + (0 - b)^2 + (c - 0)^2) = √(b^2 + c^2) = √(5^2 + 3^2) = √(34) см

BE = √((0 - a)^2 + (0 - 0)^2 + (c - 0)^2) = √(a^2 + c^2) = √(8^2 + 3^2) = √(73) см

CF = √((a - a)^2 + (b - 0)^2 + (0 - 0)^2) = √(b^2) = √(5^2) = 5 см

DG = √((0 - a)^2 + (b - b)^2 + (0 - 0)^2) = √(a^2) = √(8^2) = 8 см

Просуммируем длины всех ребер:

AB + BC + CD + DA + AE + EF + FG + GH + HA + BE + CF + DG

= 8 + 5 + 8 + 5 + 3 + √(73) + √(34) + √(73) + √(34) + √(73) + 5 + 8 см

= 56 + 2√(73) + 2√(34) см.

Чтобы найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, нужно умножить площади всех его граней и просуммировать результаты.

Площадь основания ACDH = a * b = 8 * 5 = 40 см^2.

Площадь грани ABEF = a * c = 8 * 3 = 24 см^2.

Площадь грани BCGF = b * c = 5 * 3 = 15 см^2.

Просуммируем площади всех граней:

2 * (площадь основания ACDH) + 2 * (площадь грани ABEF) + 2 * (площадь грани BCGF)

= 2 * 40 + 2 * 24 + 2 * 15 см^2

= 80 + 48 + 30 см^2

= 158 см^2.

Таким образом, сумма длин всех рёбер параллелепипеда равна 56 + 2√(73) + 2√(34) см, а площадь его поверхности равна 158 см^2.