Question

Найти область определения функций: 1) у=ln ( 8+X в кубе) 2) y = корень (x-1)(3x+6)

Answer 1

1 Логарифм определен для положительных чисел. Для нахождения области определения реши неравенство: 8+х³>0.
x³>-8
x>-2
 D(Y) =(-2; +∞).
2) Под знаком корня (если это квадратный корень) должно стоять неотрицательное выражение. Решаем неравенство (х-1)(3х+6)≥0
3(х-1)(х+2)≥0
Метод интервалов.
___________-2_________________1___________________
знаки   +                         -                                       +
Ответ; D(y)=(-∞;-2]∪[1;+∞).

Answer 2

Конечно, область определения функций определяет все значения независимой переменной (в данном случае, \(x\)), при которых функция имеет смысл и может быть вычислена без ограничений.

1) \(y = \ln(8x^3)\)

Функция \(y = \ln(8x^3)\) содержит логарифм с основанием \(e\), где аргумент \(8x^3\) должен быть положительным, так как логарифм отрицательного или нулевого значения не определен. Также избегаем деления на ноль в знаменателе.

Условия:

1. Аргумент логарифма \((8x^3)\) должен быть больше нуля: \[8x^3 > 0\]

Для этого нужно, чтобы \(x\) был отличен от нуля, так как ноль возводится в любую степень даёт ноль: \[x \neq 0\]

2. Также, чтобы \(8x^3\) было больше нуля, само выражение \(x^3\) должно быть положительным: \[x^3 > 0\]

Это верно для всех \(x\), исключая \(x = 0\), так как при \(x = 0\) \(x^3 = 0\).

Следовательно, область определения для этой функции: \(x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\).

2) \(y = \sqrt{(x-1)(3x+6)}\)

Функция содержит квадратный корень. Для того чтобы корень был действительным числом, выражение под корнем \((x-1)(3x+6)\) должно быть неотрицательным (то есть больше или равным нулю).

Условия:

1. \((x-1)(3x+6) \geq 0\)

Чтобы найти интервалы, удовлетворяющие этому неравенству, можно построить знаки в каждой области числовой прямой.

Учитывая, что это квадратное уравнение с двумя корнями (\(x = 1\) и \(x = -2\)), проверяем значения в трех областях: \((- \infty, -2)\), \((-2, 1)\), и \((1, +\infty)\).

2.1. При \(x < -2\), оба множителя \((x-1)\) и \((3x+6)\) отрицательны, произведение двух отрицательных чисел дает положительное число.

2.2. При \(-2 < x < 1\), множитель \((x-1)\) отрицателен, а \((3x+6)\) положителен, произведение двух чисел с разными знаками дает отрицательное число.

2.3. При \(x > 1\), оба множителя \((x-1)\) и \((3x+6)\) положительны, произведение двух положительных чисел дает положительное число.

Следовательно, чтобы выражение \((x-1)(3x+6)\) было неотрицательным (\((x-1)(3x+6) \geq 0\)), функция определена на интервалах \([-2, 1]\) и \([1, +\infty)\).

Область определения для этой функции: \(x \in [-2, 1] \cup [1, +\infty)\).