Question

Помогите!!! Зависимость цены р от выпуска продукции х имеет вид: р = 32 ‒ 0,2x. Функция издержек имеет вид: f(x)=0,01x3. Прибыль от реализации продукции определяется как разность между выручкой рх и издержками f(x). Найти значение выпуска, при котором прибыль будет наибольшей, если: а) 20 ≤ х ≤ 50; б) 34 ≤ х ≤ 40.

Answer 1

$F(x)=px-f(x)=(32-0,2x)x-0,01x^3=32x-0,2x^2-0,01x^3, \\ x \in [20;50], x \in [34;40] \\ F'(x)=32-0,4x-0,03x^2=0 \\ 3x^2+40x-320=0 \\ x_1=-40 \ x_2=26 \frac{2}{3}$
              +            -                  -               -                 F'(x)
|---------|-----------|------------|--------------|-------------|--------->x
0     20   ↑   26 2/3   ↓   34     ↓     40     ↓    50      F(x) 
                    max
Ответ: а) 26 2/3; б) 34.

Answer 2

Для нахождения значения выпуска, при котором прибыль будет наибольшей, нужно определить функцию прибыли и найти её максимум. Первым шагом определим функцию прибыли.

Прибыль (P) определяется как разность между выручкой (рх) и издержками (f(x)):

\[ P(x) = \text{выручка} - \text{издержки} \]

Выручка (рх) определяется по формуле \( \text{выручка} = \text{цена} \times \text{выпуск} \), где цена равна \( 32 - 0.2x \). Таким образом, выручка:

\[ \text{выручка} = (32 - 0.2x) \times x \]

Издержки (f(x)) заданы функцией \( f(x) = 0.01x^3 \).

Теперь можем записать уравнение для прибыли:

\[ P(x) = (32 - 0.2x) \times x - 0.01x^3 \]

а) Для интервала \(20 \leq x \leq 50\), найдем максимум прибыли. Для этого найдем критические точки, где производная функции прибыли равна нулю:

\[ P'(x) = 0 \]

Найдем производную прибыли:

\[ P(x) = (32 - 0.2x)x - 0.01x^3 \]

\[ P'(x) = (32 - 0.4x) - 0.03x^2 \]

Теперь приравняем \( P'(x) \) нулю и решим уравнение:

\[ (32 - 0.4x) - 0.03x^2 = 0 \]

Решив это уравнение, найдем значения x.

б) Для интервала \(34 \leq x \leq 40\) проведем аналогичные шаги.

После нахождения критических точек сравним значения прибыли в найденных точках и на концах интервала, чтобы определить, где прибыль максимальна.

Решение этих уравнений может быть сложным вручную, но с использованием программного обеспечения или калькулятора можно найти значения x, при которых производная равна нулю.