Question

Решить алгебраические уравнения на множестве комплексных чисел: Найти x и y, считая их действительными числами (2+5i)x+(2-2i)y=8+6i

Answer 1

1)z^2=t
t^2+5t+4=0
t1=-4
t2=-1
z^2=-4
z=sqrt(-4)=2i
z^2=-1
z=i
2)2x+5ix+2x-2iy=8+6i
4x+i(5x-2y)=8+6i
x=2
10-2y=6
y=2

Answer 2

Для решения данного уравнения на множестве комплексных чисел мы можем использовать метод подстановки или метод коэффициентов. Давайте воспользуемся методом коэффициентов.

У нас есть уравнение: \[ (2 + 5i)x + (2 - 2i)y = 8 + 6i \]

Сравним действительные и мнимые части на обеих сторонах уравнения:

Действительные части: \[ 2x + 2y = 8 \] (1)

Мнимые части: \[ 5ix - 2iy = 6i \] (2)

Теперь решим систему уравнений (1) и (2) относительно переменных x и y.

1. Решение для действительных частей:

Из уравнения (1) мы можем выразить x через y: \[ x = 4 - y \] (3)

2. Решение для мнимых частей:

Из уравнения (2) выразим x через y: \[ 5ix - 2iy = 6i \]

Разделим обе части на i (домножим обе части на -i, так как \(i^2 = -1\)): \[ -5x + 2y = 6 \]

Теперь выразим x через y: \[ x = \frac{2y - 6}{5} \] (4)

3. Составим уравнение, используя (3) и (4):

Подставим выражения (3) и (4) для x в уравнение (2):

\[ \left(2 + 5i\right) \left(4 - y\right) + \left(2 - 2i\right) \left(\frac{2y - 6}{5}\right) = 8 + 6i \]

Упростим это уравнение и решим его:

\[ 8 - 2y + 20i - 5iy + \frac{4y - 12}{5} - \frac{2y - 6}{5}i = 8 + 6i \]

\[ 8 - 2y + 20i - 5iy + \frac{4y - 12 - 2y + 6}{5}i = 8 + 6i \]

\[ 8 - 2y + 20i - 5iy + \frac{2y - 6}{5}i = 8 + 6i \]

\[ 8 - 2y + 20i - 5iy + \frac{2y}{5} - \frac{6}{5}i = 8 + 6i \]

\[ 8 - 2y + \frac{2y}{5} + 20i - 5iy - \frac{6}{5}i = 8 + 6i \]

\[ 8 - \frac{8y}{5} + 15i - \frac{31}{5}i = 8 + 6i \]

\[ 8 - \frac{8y}{5} - \frac{16}{5}i = 8 + 6i \]

\[ -\frac{8y}{5} - \frac{16}{5}i = 6i \]

\[ -8y - 16i = 30i \]

\[ -8y = 46i \]

\[ y = -\frac{46i}{8} = -\frac{23i}{4} \]

Теперь, используя значение y, найдем x из уравнения (3):

\[ x = 4 - \left(-\frac{23i}{4}\right) = 4 + \frac{23i}{4} \]

Таким образом, решение системы уравнений: \[ x = 4 + \frac{23i}{4} \] \[ y = -\frac{23i}{4} \]