Question

Найдите решения уравнения cos2x+sin^2x+ корень из 3*cosx=0 принадлежащие отрезку [-П;П]

Answer 1

Cos2x + sin² x+√3 cosx=0
cos²x - sin²x +sin²x +√3 cosx=0
cos²x + √3 cosx=0
cosx (cosx +√3)=0
cosx=0                     cosx+√3=0
x=π/2 +πn,n∈Z         cosx=-√3
                                Так -√3∉[-1; 1],
                                то уравнение не имеет корней.

На отрезке [-π; π]:
-π ≤ π/2+πn ≤π
-π-π/2 ≤ πn ≤ π-π/2
-3π/2 ≤πn ≤ π/2
-3/2 ≤ n ≤ 1/2
n=-1; 0

При n=-1     x= π/2 - π= -π/2
При n=0      x=π/2

Ответ: -π/2;  π/2.

Answer 2

Рассмотрим уравнение cos(2x) + sin^2(x) + √3*cos(x) = 0 на отрезке [-π, π].

Для удобства решения уравнения, заменим косинусы и синусы через тригонометрические тождества: cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 1 - 2sin^2(x), sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

Теперь подставим в исходное уравнение: 1 - 2sin^2(x) + 1 - cos^2(x) + √3*cos(x) = 0, 2 - 2sin^2(x) - cos^2(x) + √3*cos(x) = 0.

Выразим sin^2(x) через cos(x): 2 - 2(1 - cos^2(x)) - cos^2(x) + √3*cos(x) = 0, 2 - 2 + 2cos^2(x) - cos^2(x) + √3*cos(x) = 0, 3*cos^2(x) + √3*cos(x) = 0.

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно cos(x): cos(x)(3*cos(x) + √3) = 0.

Исходя из этого уравнения, у нас есть два возможных случая:

1) cos(x) = 0. Из этого следует, что x = ± π/2. Оба значения принадлежат отрезку [-π, π].

2) 3*cos(x) + √3 = 0. Решим это уравнение относительно cos(x): 3*cos(x) = -√3, cos(x) = -√3/3.

Так как cos(x) в диапазоне от -1 до 1, этот случай на отрезке [-π, π] не имеет решений.

Итак, решения уравнения cos(2x) + sin^2(x) + √3*cos(x) = 0 на отрезке [-π, π] равны x = ± π/2.