Question

Найдите такое значение a>1, при котором уравнение a^x = log_ax имеет единственное решение. В ответе укажите число e*lna.

Answer 1

Найти такое $\displaystyle a\in\mathbb{R}$, что $\displaystyle a\ \textgreater \ 1\land{\big|\{x\in\mathbb{R} \mid a^x=\log_a(x)\}\big|=1}.$

Пусть $\displaystyle f(x)=a^x,\,g(x)=\log_a(x).$

Заметим, что $\displaystyle f\left(g\left(x\right)\right)=a^{\log_a(x)}=x$, то есть $\displaystyle g(x)=f^{-1}(x).$

$\displaystyle \forall{x}:f(x)=f^{-1}(x)\implies{x=f(x)},$ значит имеем $\displaystyle x=a^x.$

Уравнение $\displaystyle x=a^x$ имеет единственное действительное решение только тогда, когда $\displaystyle y=x$ касается $\displaystyle y=f(x).$

$\displaystyle f'(x)=\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(a^x\right)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(e^{x\log(a)}\right)}{\text{d}x}=\frac{\log(a)e^{x\log(a)}\text{d}x}{\text{d}x}=\log(a)a^x;$

$\displaystyle t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=a^{x_0}+\log(a)a^{x_0}(x-x_0);$

$\displaystyle\begin{cases}t_{x_0}(0)=0,\\\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}t_{x_0}(x)=\dfrac{\text{d}x}{\text{d}x}=1;\end{cases}$

$\displaystyle\begin{cases}0=a^{x_0}-x_0\log(a)a^{x_0},\\1=\log(a)a^{x_0} \implies a^{x_0}=\dfrac{1}{\log(a)};\end{cases}$

$\displaystyle 0=\frac{1}{\log(a)}-x_0\log(a)\frac{1}{\log(a)} \implies x_0=\frac{1}{\log(a)};$

$\displaystyle 1=\log(a)a^{1/log(a)}=\log(a)e^{\log(a)/\log(a)}=\log(a)e;$

$\displaystyle \log(a)=\frac{1}{e}\implies a=\boxed{e^{1/e}}\phantom{.};$

$\displaystyle a=e^{1/e}\implies e\log(a)=e\log(e^{1/e})=e\frac{1}{e}\log(e)=\boxed{1}\phantom{.}.$

Answer 2

Для нахождения значения \( a \), при котором уравнение \( a^x = \log_a x \) имеет единственное решение, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Запишем уравнение: \[ a^x = \log_a x \]

2. Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. Заметим, что \(\log_a x\) можно записать как \(\frac{\ln x}{\ln a}\): \[ a^x = \frac{\ln x}{\ln a} \]

3. Перепишем уравнение, умножив обе стороны на \(\ln a\): \[ \ln a \cdot a^x = \ln x \]

4. Теперь найдем производную обеих сторон уравнения по \( x \) и приравняем ее к нулю: \[ \frac{d}{dx} (\ln a \cdot a^x) = \frac{d}{dx} (\ln x) \]

5. Найдем производные: \[ \ln a \cdot a^x \cdot \ln a = \frac{1}{x} \]

6. Уравняем производные нулю: \[ \ln a \cdot a^x \cdot \ln a = 0 \] Это уравнение имеет единственное решение при \( \ln a \neq 0 \) и \( a^x \neq 0 \), что возможно только тогда, когда \( a > 1 \).

Таким образом, мы получаем, что \( a > 1 \), чтобы уравнение \( a^x = \log_a x \) имело единственное решение. В частности, если \( a = e \), то ответом будет число \( e \cdot \ln a \). В данном случае \( e \cdot \ln a = e \cdot \ln e = e \cdot 1 = e \). Таким образом, ответ на задачу - число \( e \).